Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Tham khảo bài 8 trong link: Câu hỏi của Nguyễn Linh Chi - Toán lớp - Học toán với OnlineMath
Tham khảo link này : https://olm.vn/hoi-dap/detail/223163065606.html
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz , ta có : \(3.\left(x^4+y^4+z^4\right)\ge\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\), do đó : \(0\ge\left(x^2+y^2+z^2\right)^2-7\left(x^2+y^2+z^2\right)+12\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\), áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz , ta lại có :
\(P=\frac{x^2}{y+2z}+\frac{y^2}{z+2x}+\frac{z^2}{x+2y}\)
\(=\frac{x^4}{x^2y+2zx^2}+\frac{y^4}{y^2z+2xy^2}+\frac{z^4}{z^2x+2yz^2}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2y+y^2z+z^2x+2\left(xy^2+yz^2+zx^2\right)}\)
Tiếp tục sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz và kết hợp BĐT quen thuộc \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\), ta có :
\(x^2y+y^2z+z^2x\le\sqrt{\left(x^2+y^2+z^2\right).\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)}\)
\(\le\sqrt{\left(x^2+y^2+z^2\right).\left(\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3}\right)}\)
\(=\left(x^2+y^2+z^2\right).\sqrt{\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)}{3}}\)
Tương tự , chứng minh đc :
\(2.\left(xy^2+yz^2+zx^2\right)\le2\left(x^2+y^2+z^2\right)\sqrt{\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)}{3}}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3.\left(x^2+y^2+z^2\right)\sqrt{\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)}{3}}}\)
\(=\sqrt{\frac{x^2+y^2+z^2}{3}}\)
\(\ge1\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1 nên giá trị nhỏ nhất của P là 1
áp dụng BĐT Cauchy ta có
\(\frac{x^3}{y+2z}+\frac{y+2z}{9}+\frac{1}{3}>=3\sqrt[3]{\frac{x^3}{y+2z}.\frac{\left(y+2z\right)}{9}.\frac{1}{3}}=x\)
\(=>\frac{x^3}{y+2z}>=x-\frac{y+2z}{9}-\frac{1}{3}\)
Tương tự \(\frac{y^3}{z+2x}>=y-\frac{z+2x}{9}-\frac{1}{3}\),\(\frac{z^3}{x+2y}>=z-\frac{x+2y}{9}-\frac{1}{3}\)
\(=>P>=\left(x+y+z\right)-\frac{3\left(x+y+z\right)}{9}-\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\right)\)
Mà x+y+z=3
\(=>P>=3-1-1=1\)
=>Min P=1
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1
Bài: Cho x,y >0, x+y>=4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A= 3x + 4y +\(\frac{5}{x}+\frac{9}{y}\)
\(A=3x+4y+\frac{5}{x}+\frac{9}{y}=\frac{5}{4}x+\frac{5}{x}+\frac{9}{4}y+\frac{9}{y}+\frac{7}{4}x+\frac{7}{4}y\)
\(\ge2\sqrt{\frac{5}{4}x.\frac{5}{x}}+2\sqrt{\frac{9}{4}y.\frac{9}{y}}+\frac{7}{4}.4\)
\(=5+9+7=21\)
Dấu \(=\)khi \(x=y=2\).