Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(P\le\frac{x}{2\sqrt{x^4.y^2}}+\frac{y}{2\sqrt{x^2.y^4}}=\frac{x}{2x^2y}+\frac{y}{2xy^2}=\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}=\frac{1}{xy}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=1
Ta có: \(A=2013-xy\Leftrightarrow y=\frac{2013-A}{x}\)
Đặt \(2013-A=B\)thì ta có \(y=\frac{B}{x}\)(1)
Theo đề bài có
\(5x^2+\frac{y^2}{4}+\frac{1}{4x^2}=\frac{5}{2}\)
\(\Leftrightarrow5x^2+\frac{B^2}{4x^2}+\frac{1}{4x^2}=\frac{5}{2}\)
\(\Leftrightarrow20x^4-10x^2+B^2+1=0\)
Để PT có nghiệm (theo biến x2) thì \(\Delta\ge0\)
\(\Leftrightarrow5^2-20\left(B^2+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow B^2\le0,25\Leftrightarrow-0,5\le B\le0,5\)
\(\Leftrightarrow-0,5\le2013-A\le0,5\)
\(\Leftrightarrow2012,5\le A\le2013,5\)
Đạt GTLN khi \(\left(x,y\right)=\left(\frac{1}{2},-1;-\frac{1}{2},1\right)\)
Đạt GTNN khi \(\left(x;y\right)=\left(\frac{1}{2},1;-\frac{1}{2},-1\right)\)
Áp dụng BĐT AM - GM ta có :
\(P=\frac{x^2}{x^4+yz}+\frac{y^2}{y^4+xz}+\frac{z^2}{z^4+xy}\)
\(\le\frac{x^2}{2x^2\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{2y^2\sqrt{xz}}+\frac{z^2}{2z^2\sqrt{xy}}\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{yz}}+\frac{1}{2\sqrt{xz}}+\frac{1}{2\sqrt{xy}}\)
\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{2}.\frac{xy+yz+xz}{xyz}\)
\(\le\frac{1}{2}.\frac{x^2+y^2+z^2}{xyz}\le\frac{1}{2}.\frac{3xyz}{xyz}=\frac{3}{2}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Chúc bạn học tốt !!!
Nháp thử trước nhé: (thường gọi là định hướng làm bài)
Thêm đk: x,y>0
Ta thử khai thác giả thiết:
Biến đổi vế trái giả thiết,ta có:
\(2x^2+\frac{y^2}{4}+\frac{1}{x^2}=4\)
\(\Leftrightarrow2x^2+\frac{y^2}{4}+\frac{1}{x^2}-1=3\)
\(\Leftrightarrow x^2+\left(\frac{y^2}{4}+1\right)+\left(\frac{1}{x^2}+x^2\right)-1=3\)
\(3\ge x^2+2\sqrt{\frac{y^2}{4}.1}+2\sqrt{\frac{1}{x^2}.x^2}-1\)
\(\Leftrightarrow3\ge x^2+y+1\)\(\Leftrightarrow2\ge x^2+y\)
\(\Leftrightarrow2\ge x^2+\frac{y^2}{y}\ge2\sqrt{\frac{\left(xy\right)^2}{y}}\)
Suy ra \(\Rightarrow\sqrt{\frac{\left(xy\right)^2}{y}}\le1\Leftrightarrow\frac{\left(xy\right)^2}{y}\le1\Rightarrow\left(xy\right)^2\le y\Rightarrow P=xy\le\sqrt{y}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=\frac{\sqrt{2}}{2};y=2\)
Có dấu "=" rồi => dễ tìm min hơn :v
à không,nãy nhầm rồi.Thử lại:
\(2x^2+\frac{y^2}{4}+\frac{1}{x^2}=4\)
\(\Leftrightarrow x^2+\left(\frac{y^2}{4}+1\right)+\left(\frac{1}{x^2}+x^2\right)-1=4\)
\(4\ge x^2+2\sqrt{\frac{y^2}{4}.1}+2\sqrt{\frac{1}{x^2}.x^2}-1\)
\(\Leftrightarrow4\ge x^2+y+1\Leftrightarrow3\ge x^2+y\)
hay \(3\ge x^2+\frac{y^2}{y}\ge2\sqrt{\frac{\left(xy\right)^2}{y}}\Leftrightarrow\sqrt{\frac{\left(xy\right)^2}{y}}\le\frac{3}{2}\)
Suy ra \(\frac{\left(xy\right)^2}{y}\le\frac{9}{4}\Rightarrow\left(xy\right)^2\le\frac{9y}{4}\Leftrightarrow xy\le\sqrt{\frac{9y}{4}}\) :v
Phải là giá trị nhỏ nhất nha bạn
Áp dụng BĐT Cô-si dạng Engel
\(A=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{z+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(y+z\right)+\left(z+x\right)+\left(x+y\right)}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}=\frac{2}{2}=1\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}\frac{x}{y+z}=\frac{y}{z+x}=\frac{z}{x+y}\\x+y+z=2\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) \(x=y=z=\frac{2}{3}\)
áp dụng bất đẳng thức cô si ta có:
\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\ge x\)
\(\frac{y^2}{z+x}+\frac{z+x}{4}\ge y\)
\(\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge z\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y+z}{2}\ge x+y+z\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{x+y+z}{2}=1\)
\(A=\frac{x}{x^4+\frac{1}{x^2}}+\frac{\frac{1}{x}}{x^2+\frac{1}{x^4}}=\frac{x}{\frac{x^6+1}{x^2}}+\frac{\frac{1}{x}}{\frac{x^6+1}{x^4}}=\frac{x^3}{x^6+1}+\frac{x^3}{x^6+1}=\frac{2x^3}{x^6+1}\)
Áp dụng bất đẳng thức Côsi: \(x^6+1\ge2\sqrt{x^6.1}=2x^3\)
\(\Rightarrow A\le\frac{2x^3}{2x^3}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x^3=1\Leftrightarrow x=1\)
Vậy GTNN của A là 1.
\(B=\frac{-8}{3x^2+1}\)
Cách 1:
\(3x^2+1>0\)không có GTLN \(\Rightarrow\frac{8}{3x^2+1}\)không có GTNN \(\Rightarrow-\frac{8}{3x^2+1}\)không có GTLN.
Cách 2:
\(3Bx^2+B=-8\Leftrightarrow3Bx^2+B+8=0\)
+B = 0 thì pt trở thành 0 + 0 + 8 = 0 (vô lí)
+Xét B khác 0. Để pt có nghiệm x thì \(\Delta'=0-4.3B\left(B+8\right)\ge0\Leftrightarrow B\left(B+8\right)\le0\Leftrightarrow-8\le B\le0\)
\(\Rightarrow-8\le B