Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{x}{x+2}+\frac{y}{y+2}=2-2\left(\frac{1}{x+2}+\frac{1}{y+2}\right)\le2-2.\frac{4}{x+2+y+2}=2-\frac{8}{4-z}\)
Cần CM: \(2-\frac{8}{4-z}+\frac{z}{z+8}\le\frac{1}{3}\)
\(\Leftrightarrow\frac{8\left(z-2\right)^2}{3\left(4-z\right)\left(z+8\right)}\ge0\)
bđt trên đúng do \(4-z=\left(x+2\right)+\left(y+2\right)>0\)
\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+x\right)^2}{y+z+z+x+x+y}=\frac{x+y+x}{2}=1\)
Dấu ' =' xảy ra khi \(x=y=z=\frac{2}{3}\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\Leftrightarrow\frac{1}{x}=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{y}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{z}\right)\)\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}=\frac{1}{2}\left(\frac{y-2}{y}+\frac{z-2}{z}\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có \(\frac{1}{x}=\frac{1}{2}\left(\frac{y-2}{y}+\frac{z-2}{z}\right)\ge\sqrt{\frac{\left(y-2\right)\left(z-2\right)}{yz}}\)
Tương tự : \(\frac{1}{y}\ge\sqrt{\frac{\left(x-2\right)\left(z-2\right)}{xz}}\) ; \(\frac{1}{z}\ge\sqrt{\frac{\left(x-2\right)\left(y-2\right)}{xy}}\)
Nhân theo vế được : \(\frac{1}{xyz}\ge\frac{\left(x-2\right)\left(y-2\right)\left(z-2\right)}{xyz}\Rightarrow\left(x-2\right)\left(y-2\right)\left(z-2\right)\le1\)
BẠN XEM BÀI NÀY, BÀI TRÊN MÌNH VIẾT THỪA DÒNG CUỐI.
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\Leftrightarrow\frac{1}{x}=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{y}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{z}\right)\)\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}=\frac{1}{2}\left(\frac{y-2}{y}+\frac{z-2}{z}\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có \(\frac{1}{x}=\frac{1}{2}\left(\frac{y-2}{y}+\frac{z-2}{z}\right)\ge\sqrt{\frac{\left(y-2\right)\left(z-2\right)}{yz}}\)
Tương tự : \(\frac{1}{y}\ge\sqrt{\frac{\left(x-2\right)\left(z-2\right)}{xz}}\) ; \(\frac{1}{z}\ge\sqrt{\frac{\left(x-2\right)\left(y-2\right)}{xy}}\)
Nhân theo vế được : \(\frac{1}{xyz}\ge\frac{\left(x-2\right)\left(y-2\right)\left(z-2\right)}{xyz}\Rightarrow\left(x-2\right)\left(y-2\right)\left(z-2\right)\le1\)
\(\frac{1}{xyz}\)
Ta có x√(1-y2)<= (x2 + 1 - y2)/2
y√(1-z2)<= (y2 +1 - z2)/2
z√(1- x2)<= (z2 + 1 - x2)/2
=>x√(1-y2) +y√(1-z2)z+√(1- x2)<=3/2
Đấu đẳng thức xảy ra khi: x2 = 1 - y2
y2 = 1-z2
z2 = 1- x2
Cộng vế theo vế ta được điều phải chứng minh
Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử \(x\ge y\ge z\).Khi đó:
\(5=x+y+z\le3x\le6\Leftrightarrow\frac{5}{3}\le x\le2\Rightarrow\left(x-1\right)\left(2-x\right)\ge0\)(*)
Mặt khác, vì \(0\le y,z\le2\)nên \(\left(y-2\right)\left(z-2\right)\ge0\Leftrightarrow yz\ge2\left(y+z\right)-4\)
\(\Leftrightarrow yz\ge2\left(5-x\right)-4=6-2x\)
Do đó:
\(\Leftrightarrow A\ge\sqrt{x}+\sqrt{3-x+2\sqrt{2}\sqrt{3-x}+2}\)
\(=\sqrt{x}+\sqrt{\left(\sqrt{3-x}+\sqrt{2}\right)^2}=\sqrt{x}+\sqrt{3-x}+\sqrt{2}\)
Vì \(\left(\sqrt{x}+\sqrt{3-x}\right)^2=x+2\sqrt{x\left(3-x\right)}+3-x\)
\(=3+2\sqrt{3x-x^2}=3+2\sqrt{\left(x-1\right)\left(2-x\right)+2}\ge3+2\sqrt{2}\)
\(=\left(\sqrt{2}+1\right)^2\)(vì \(\left(x-1\right)\left(2-x\right)\ge0\)theo (*)) nên \(\sqrt{x}+\sqrt{3-x}\ge\sqrt{2}+1\)
Vậy \(A\ge2\sqrt{2}+1\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}0\le x,y,z\le2;x+y+z=5\\\left(x-1\right)\left(2-x\right)=0\\yz=6-2x\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=2;z=1\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là \(2\sqrt{2}+1\)đạt được khi \(\left(x,y,z\right)=\left(2,2,1\right)\)và các hoán vị
Không mất tính tổng quát, giả sử: \(x\ge y\ge z\). Khi đó:
\(5=x+y+z\le3x\le6\Rightarrow\frac{5}{3}\le x\le2\Rightarrow\left(x-1\right)\left(2-x\right)\ge0\)(*)
Mặt khác, vì \(0\le y,z\le2\)nên \(\left(y-2\right)\left(z-2\right)\ge0\Leftrightarrow yz\ge2\left(y+z\right)-4\)
\(\Leftrightarrow yz\ge2\left(5-x\right)-4=6-2x\)
Do đó: \(A=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=\sqrt{x}+\sqrt{y+z+2\sqrt{yz}}\)
\(\ge\sqrt{x}+\sqrt{5-x+2\sqrt{6-2x}}=\sqrt{x}+\sqrt{3-x+2\sqrt{2}.\sqrt{3-x}+2}\)
\(=\sqrt{x}+\sqrt{\left(\sqrt{3-x}+\sqrt{2}\right)^2}=\sqrt{x}+\sqrt{3-x}+\sqrt{2}\)
Ta có: \(\left(\sqrt{x}+\sqrt{3-x}\right)^2=x+2\sqrt{x\left(3-x\right)}+3-x=3+2\sqrt{3x-x^2}\)
\(=3+2\sqrt{\left(x-1\right)\left(2-x\right)+2}\ge3+2\sqrt{2}=\left(1+\sqrt{2}\right)^2\)(theo (*))
Do đó \(\sqrt{x}+\sqrt{3-x}\ge1+\sqrt{2}\)
Vậy \(A\ge2\sqrt{2}+1\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}0\le x,y,z\le2;x+y+z=5\\\left(x-1\right)\left(2-x\right)=0\\yz=6-2x\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=2;z=1\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là \(2\sqrt{2}+1\), đạt được khi \(\left(x,y,z\right)=\left(2,2,1\right)\)và các hoán vị.
\(\dfrac{x+y}{z}+\dfrac{y+z}{x}+\dfrac{x+z}{y}=\dfrac{x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+x^2z+xz^2}{xyz}=\dfrac{-3xyz}{xyz}=-3\)
đề cho xy+yz+xz=0 nhân cả 2 vế với -z
=>-xyz-\(z^2\left(y+x\right)\)=0
=>-xyz=\(z^2x+z^2y\)
cmtt bạn nhân với -y và -z
=>-3xyz=\(x^2y+xy^2+y^2z+yz^2+x^2z+xz^2\)
Lời giải:
Do $x,y,z\in [0;2]\Rightarrow (x-2)(y-2)(z-2)\leq 0$
$\Leftrightarrow xyz-2(xy+yz+xz)+4(x+y+z)-8\leq 0$
$\Leftrightarrow 2(xy+yz+xz)\geq 4(x+y+z)-8+xyz$
Mà $4(x+y+z)-8+xyz=4.3-8+xyz=4+xyz\geq 4$ do $x,y,z\geq 0$
Do đó $2(xy+yz+xz)\geq 4$
Suy ra $x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+xz)=9-2(xy+yz+xz)\leq 9-4=5$
Ta có đpcm. Dấu "=" xảy ra khi $(x,y,z)=(2,1,0)$ và các hoán vị.
Có nhiều cách!
Cách 2:Giả sử \(x\ge y\ge z\Rightarrow3x\ge x+y+z=3\Rightarrow2\ge x\ge1\)
Ta có: \(x^2+y^2+z^2\le x^2+y^2+2yz+z^2=x^2+\left(y+z\right)^2\)
\(=x^2+\left(3-x\right)^2=2x^2-6x+9\)
\(=2\left(x-1\right)\left(x-2\right)+5\le5\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(2;1;0\right)\) và các hoán vị
Vậy...
Cách 3: Dùng khai triển Abel: Câu hỏi của Thảo Lê - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath (em không chắc lắm nhưng cứ đăng)