NT
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
CY
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 4 2019
Biến đổi tương đương, do mọi hạng tử đều dương nên:
\(\frac{x^2+y^2+2}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}\ge\frac{2}{1+xy}\)
\(\Leftrightarrow\left(1+xy\right)\left(x^2+y^2+2\right)\ge2\left(x^2y^2+x^2+y^2+1\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+2+x^3y+xy^3+2xy=2x^2y^2+2x^2+2y^2+2\)
\(\Leftrightarrow x^3y+xy^3-2x^2y^2-\left(x^2-2xy+y^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow xy\left(x-y\right)^2-\left(x-y\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(xy-1\right)\left(x-y\right)^2\ge0\) luôn đúng do \(xy\ge1\Rightarrow xy-1\ge0\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left[{}\begin{matrix}xy=1\\x=y\end{matrix}\right.\)
TQ
2
VT
1 tháng 1 2018
Cái này biến đổi tương đương nhé, t có mỗi cách đó !
ta có BĐT cần chứng minh
\(\Leftrightarrow\left(1+xy\right)\left(1+x^2\right)+\left(1+xy\right)\left(1+y^2\right)\ge2\left(1+y^2\right)\left(1+x^2\right)\)
\(\Leftrightarrow1+x^2+xy+x^3y+1+y^2+xy+y^3\ge2\left(1+x^2+y^2+x^2y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow2xy+x^3y+xy^3-x^2-y^2-2x^2y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow xy\left(x-y\right)^2-\left(x-y\right)^2\ge0\Leftrightarrow\left(xy-1\right)\left(x-y\right)^2\ge0\)
bđt này luôn đúng với \(x,y\ge1\)
dấu = xảy ra <=> x=y >=1
^_^
29 tháng 10 2019
chọn của vũ tiền châu nhé
nhớ đêý
cảm ơn
t i c k nhé
AH
Akai Haruma
Giáo viên
13 tháng 2 2020
a)
Coi đây là pt bậc hai ẩn $y$. Để pt có nghiệm nguyên thì:
$\Delta'=x^2+3x+2=t^2$ với $t\in\mathbb{Z}$)
$\Rightarrow 4x^2+12x+8=4t^2$
$\Leftrightarrow (2x+3)^2-1=(2t)^2$
$\Leftrightarrow 1=(2x+3-2t)(2x+3+2t)$
Xét 2 TH sau:
TH1: $2x+3-2t=2x+3+2t=1$
$\Rightarrow x=-1; y=1$
TH2: $2x+3-2t=2x+3+2t=-1$
$\Rightarrow x=-2; y=2$
Vậy.......
AH
Akai Haruma
Giáo viên
13 tháng 2 2020
b) Ta có:
\(\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}\geq \frac{2}{xy+1}\)
\(\Leftrightarrow \frac{x^2+y^2+2}{x^2+y^2+x^2y^2+1}\geq \frac{2}{xy+1}\)
\(\Leftrightarrow (x^2+y^2+2)(xy+1)\geq 2(x^2+y^2+x^2y^2+1)\)
\(\Leftrightarrow xy(x^2+y^2-2xy)-(x^2+y^2-2xy)\geq 0\)
$\Leftrightarrow (x-y)^2(xy-1)\geq 0$
Luôn đúng với mọi $xy\geq 1$
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $x=y$ hoặc $xy=1$
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
17 tháng 5 2020
a/ \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}\)
\(\Leftrightarrow\left(1+xy\right)\left(2+x^2+y^2\right)\ge2\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow2+x^2+y^2+2xy+xy\left(x^2+y^2\right)\ge2+2x^2+2y^2+2x^2y^2\)
\(\Leftrightarrow xy\left(x^2+y^2-2xy\right)-\left(x^2+y^2-2xy\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(xy-1\right)\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
b/ Để biểu thức xác định \(\Rightarrow x\ne0\Rightarrow x^2\ge1\)
\(4=\frac{y^2}{4}+x^2+\frac{1}{x^2}+x^2\ge\frac{y^2}{4}+2\sqrt{\frac{x^2}{x^2}}+1\ge\frac{y^2}{4}+3\)
\(\Rightarrow\frac{y^2}{4}\le1\Rightarrow y^2\le4\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y^2=0\\y^2=1\\y^2=4\end{matrix}\right.\)
\(y^2=0\Rightarrow2x^2+\frac{1}{x^2}=4\Rightarrow2x^4-4x^2+1=0\) (ko tồn tại x nguyên tm)
\(y^2=1\Rightarrow2x^2+\frac{1}{x^2}=3\Rightarrow2x^4-3x^2+1=0\Rightarrow x^2=1\)
\(\Rightarrow\left(x;y\right)=...\)
\(y^2=4\Rightarrow2x^2+\frac{1}{x^2}=0\Rightarrow\) ko tồn tại x thỏa mãn
AH
Akai Haruma
Giáo viên
9 tháng 7 2020
Lời giải:
$xy+yz+xz=3xyz$
$\Leftrightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3$
Đặt $\left(\frac{1}{x}, \frac{1}{y}, \frac{1}{z}\right)=(a,b,c)$ thì bài toán trở thành:
Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=3$. CMR $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq a^2+b^2+c^2$
---------------------------------
Thật vậy:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\geq \frac{2}{ab}$
$\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq \frac{2}{bc}$
$\frac{1}{c^2}+\frac{1}{a^2}\geq \frac{2}{ac}$
Cộng theo vế và thu gọn: $\sum \frac{1}{a^2}\geq \sum \frac{1}{ab}=\frac{a+b+c}{abc}=\frac{3}{abc}$
Ta cần chứng minh $\frac{3}{abc}\geq a^2+b^2+c^2$ thì bài toán sẽ được chứng minh.
$\Leftrightarrow abc(a^2+b^2+c^2)\leq 3(*)$
Theo hệ quả BĐT AM-GM: $3abc=abc(a+b+c)\leq \frac{(ab+bc+ac)^2}{3}$
$\Rightarrow abc\leq \frac{(ab+bc+ac)^2}{9}$
$\Rightarrow abc(a^2+b^2+c^2)\leq \frac{(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ac)^2}{9}$
Mà:
$(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ac)^2\leq \left(\frac{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac+ab+bc+ac}{3}\right)^3=\frac{(a+b+c)^6}{27}=27$ theo AM-GM
Do đó: $abc(a^2+b^2+c^2)\leq \frac{27}{9}=3$. BĐT $(*)$ được CM
Do đó ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$ hay $x=y=z=1$
KN
25 tháng 12 2019
Ta có: \(\left(x-y\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)
\(\Rightarrow x^2+2xy+y^2\ge4xy\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Rightarrow\frac{1}{xy}\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\)(đpcm)
25 tháng 12 2019
Ta có vì : x,y > 0
và \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)
Từ đề bài ta có:
\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}.\left(x+y\right).xy\ge\frac{4}{x+y}.xy\left(x+y\right)\)
Áp dụng đẳng thức Cô-si:
\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Vậy....
đpcm.
KB
16 tháng 3 2019
1 ) Đề bài > not \(\ge\)
Giả sử đpcm là đúng , khi đó , ta có :
\(x^2+y^2+8>xy+2x+2y\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+16>2xy+4x+4y\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2-4x+4\right)+\left(y^2-4y+4\right)+8>0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x-2\right)^2+\left(y-2\right)^2+8>0\left(1\right)\)
Do \(\left(x-y\right)^2+\left(x-2\right)^2+\left(y-2\right)^2+8\ge8>0\forall x;y\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) ; ( 2 ) => Điều giả sử là đúng => đpcm
2 ) ĐK : a ; b ; c không âm
Áp dụng BĐT phụ \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\) ( cái này bạn áp dụng BĐT Cô - si để c/m ) , ta có :
\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge\frac{9}{a+b+b+c+c+a}=\frac{9}{6.2}=\frac{3}{4}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=2\)
3 ) Áp dụng BĐT Cô - si cho các cặp số không âm , ta có :
\(x^2+y^2\ge2xy;y^2+z^2\ge2yz;x^2+z^2\ge2xz\)
\(\Rightarrow2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2yz+2xz\left(1\right)\)
\(x^2+1\ge2x;y^2+1\ge2y;z^2+1\ge2z\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+3\ge2x+2y+2z\left(2\right)\)
Từ ( 1 ) ; ( 2 ) , ta có : \(2x^2+2y^2+2z^2+x^2+y^2+z^2+3\ge2xy+2yz+2xz+2x+2y+2z\)
\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2+1\right)\ge2\left(x+y+z+2xy+2xz+2yz\right)=2.6=12\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+1\ge4\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)
6 tháng 4 2019
a) \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}\Leftrightarrow\frac{2+x^2+y^2}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}\ge\frac{2}{1+xy}\)
\(\Leftrightarrow\left(2+x^2+y^2\right)\left(1+xy\right)\ge2\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow2+2xy+x^2+x^3y+y^2+y^3x\ge2\left(x^2+y^2+x^2y^2+1\right)\)
\(\Leftrightarrow x^3y+xy^3+2xy-x^2-y^2-2x^2y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow xy\left(x^2-2xy+y^2\right)-\left(x^2-2xy+y^2\right)\ge0\Leftrightarrow\left(xy-1\right)\left(x-y\right)^2\ge0\) (đúng)
Ta có: \(VT-VP=\frac{\left(y-x\right)^2\left(xy-1\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)(đúng với \(xy\ge1\))
Đẳng thức xảy ra khi a = b = 1