Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(x_0=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}-\sqrt{6-3\sqrt{2+\sqrt{3}}}\).Ta sẽ chứng minh x0 là nghiệm của phương trình \(x^4-16x^2+32=0\)
Ta có: \(x_0=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}-\sqrt{6-3\sqrt{2+\sqrt{3}}}\)
\(\Rightarrow x_0^2=2+\sqrt{2+\sqrt{3}}+6-3\sqrt{2+\sqrt{3}}\)
\(-2\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}.\sqrt{6-3\sqrt{2+\sqrt{3}}}\)
\(=8-2\sqrt{2+\sqrt{3}}-2\sqrt{3}.\sqrt{4-\left(2+\sqrt{3}\right)}\)
\(=8-2\sqrt{2+\sqrt{3}}-2\sqrt{3\left(2-\sqrt{3}\right)}\)
\(\Rightarrow x_0^2-8=-2\sqrt{2+\sqrt{3}}-2\sqrt{3\left(2-\sqrt{3}\right)}\)
\(\Rightarrow\left(x_0^2-8\right)^2=\left[-2\sqrt{2+\sqrt{3}}-2\sqrt{3\left(2-\sqrt{3}\right)}\right]^2\)
\(\Leftrightarrow x_0^4-16x_0^2+64=4\left(2+\sqrt{3}\right)+12\left(2-\sqrt{3}\right)+8\sqrt{3}\)
\(\Leftrightarrow x_0^4-16x_0^2+64=32\)
\(\Leftrightarrow x_0^4-16x_0^2+32=0\)
Điều này chứng tỏ x0 là nghiệm của phương trình \(x^4-16x^2+32=0\)
Vậy \(x_0\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}-\sqrt{6-3\sqrt{2+\sqrt{3}}}\)là nghiệm của phương trình \(x^4-16x^2+32=0\)(đpcm)
\(a,\sqrt{25x^2}=10\)
\(\sqrt{\left(5x\right)^2}=10\)
\(5x=10\)
\(x=2\)
b. <=> \(\sqrt{4\left(x^2-1\right)}=2\sqrt{15}\) ĐKXĐ: x>=1,x>=-1
<=> \(4\left(x^2-1\right)=60\Leftrightarrow x^2-1=15\Leftrightarrow x^2-16=0\Leftrightarrow\left(x-4\right)\left(x+4\right)=0\)
<=>x=+-4
a. \(9x=225\Rightarrow x=25\)
b. \(2x=8\Rightarrow x=4\)
c. \(3\left(2x-3\right)=6\Rightarrow6x=15\Rightarrow x=\frac{15}{6}\)
d. \(4\left(x+1\right)=8\Rightarrow4x=4\Rightarrow x=1\)
e. \(\sqrt{x+2}.\sqrt{x-2}-\sqrt{x-2}=0\Rightarrow\sqrt{x-2}\left(\sqrt{x+2}-1\right)=0\)
=> \(\sqrt{x-2}=0\Rightarrow x-2=0\Rightarrow x=2\)
hoặc \(\sqrt{x+2}-1=0\Rightarrow\sqrt{x+2}=1\Rightarrow x+2=1\Rightarrow x=-1\)
f. \(\sqrt{x+1}+3\sqrt{x+1}=4\Rightarrow4\sqrt{x+1}=4\Rightarrow\sqrt{x+1}=1\Rightarrow x+1=1\Rightarrow x=0\)
g. \(\sqrt{x-2}\left(1-\sqrt{x}\right)=0\)
=> \(\sqrt{x-2}=0\Rightarrow x-2=0\Rightarrow x=2\)
hoặc \(1-\sqrt{x}=0\Rightarrow\sqrt{x}=1\Rightarrow x=1\)
h. \(\sqrt{x+3}.\sqrt{x-3}-\sqrt{x+3}=0\Rightarrow\sqrt{x+3}\left(\sqrt{x-3}-1\right)=0\)
=> \(\sqrt{x+3}=0\Rightarrow x=-3\)
hoặc \(\sqrt{x-3}-1=0\Rightarrow\sqrt{x-3}=1\Rightarrow x=4\)
√x−2(1−√x)=0
=> √x−2=0⇒x−2=0⇒x=2
hoặc 1−√x=0⇒√x=1⇒x=1
h. √x+3.√x−3−√x+3=0⇒√x+3(√x−3−1)=0
=> √x+3=0⇒x=−3
hoặc
√x−2(1−√x)=0
=> √x−2=0⇒x−2=0⇒x=2
hoặc 1−√x=0⇒√x=1⇒x=1
h. √x+3.√x−3−√x+3=0⇒√x+3(√x−3−1)=0
=> √x+3=0⇒x=−3
hoặc
giải phương trình$\sqrt{x}+\sqrt{1-x}+2\sqrt{x-x^2}-2\sqrt[4]{x-x^2}=1$√x+√1−x+2√x−x2−24√x−x2=1$\sqrt{x^2+10x+7}=3\sqrt{x+3}+2\sqrt{x+7}-6$√x2+10x+7=3√x+3+2√x+7−6$\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x+2}=1+\sqrt[3]{x-3x+12}$3√x+1+3√x+2=1+3√x−3x+12$\left(4x+2\right)\sqrt{x+8}=3x^2+7x+8$(4x+2)√x+8=3x2+7x+8$x+4\sqrt{5-x}=4\sqrt{x-1}+\sqrt{-x^2+6x-5}+1$x+
ải phương trình
$\sqrt{x}+\sqrt{1-x}+2\sqrt{x-x^2}-2\sqrt[4]{x-x^2}=1$√x+√1−x+2√x−x2−24√x−x2=1
4√5−x=4√x−1+√−x2+6x−5+1
Đặt \(A=ab\sqrt{ab}+bc\sqrt{bc}+ac\sqrt{ac}=1.\\ \)( cho đỡ phải đánh máy nhiều )
Ta có : \(\frac{a^6}{a^3+b^3}=a^3-\frac{a^3b^3}{a^3+b^3}\ge a^3-\frac{a^3b^3}{2\sqrt{a^3b^3}}=a^3-\frac{ab\sqrt{ab}}{2}\left(1\right).\)
( do a,b> 0 nên \(a^3+b^3\ge2\sqrt{a^3b^3}\Rightarrow\frac{a^3b^3}{a^3+b^3}\le\frac{a^3b^3}{2\sqrt{a^3b^3}}\))
chứng minh tương tự ta có :
\(\frac{b^6}{b^6+c^6}\ge b^3-\frac{bc\sqrt{bc}}{2}\left(2\right).\); \(\frac{c^6}{c^3+a^3}\ge c^3-\frac{ca\sqrt{ca}}{2}\left(3\right).\)
cộng vế với vế các bđt (1) (2), (3) ta được :
\(P\ge a^3+b^3+c^3-\frac{A}{2}\left(4\right).\)
Áp dụng BĐT Cô si ( AM - GM ) : \(\frac{a^3+b^3}{2}\ge\sqrt{a^3b^3}=ab\sqrt{ab}.\)( làm tương tự 2 lần nữa với a^3, b^3 , c^3 rồi cộng vế với vế ta được )
=> \(a^3+b^3+c^3\ge ab\sqrt{ab}+bc\sqrt{bc}+ca\sqrt{ca}=A\left(5\right).\)
Thay (5) vào (4) ta được :
\(P\ge A-\frac{A}{2}=\frac{A}{2}=\frac{1}{2}.\)
Vậy Pmin = 1/2 khi a = b = c = \(\frac{1}{\sqrt[3]{3}}.\)