Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
?Amanda?, Phạm Lan Hương, Phạm Thị Diệu Huyền, Vũ Minh Tuấn, Nguyễn Ngọc Lộc , @tth_new, @Nguyễn Việt Lâm, @Akai Haruma, @Trần Thanh Phương
giúp e với ạ! Cần trước 5h chiều nay! Cảm ơn mn nhiều!
Tranh thủ làm 1, 2 bài rồi ăn cơm:
1/ Đặt \(m=n-2008>0\)
\(\Rightarrow2^{2008}\left(369+2^m\right)\) là số chính phương
\(\Rightarrow369+2^m\) là số chính phương
m lẻ thì số trên chia 3 dư 2 nên ko là số chính phương
\(\Rightarrow m=2k\Rightarrow369=x^2-\left(2^k\right)^2=\left(x-2^k\right)\left(x+2^k\right)\)
b/
\(2\left(a^2+b^2\right)\left(a+b-2\right)=a^4+b^4\) \(\left(a+b>2\right)\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)\left(a+b-2\right)\ge\frac{1}{2}\left(a^2+b^2\right)^2\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\le4\left(a+b-2\right)\)
\(\Rightarrow\left(a-2\right)^2+\left(b-2\right)^2\le0\Rightarrow a=b=2\)
\(\Rightarrow x=y=4\)
Câu 1 chuyên phan bội châu
câu c hà nội
câu g khoa học tự nhiên
câu b am-gm dựa vào hằng đẳng thử rồi đặt ẩn phụ
câu f đặt \(a=\frac{2m}{n+p};b=\frac{2n}{p+m};c=\frac{2p}{m+n}\)
Gà như mình mấy câu còn lại ko bt nha ! để bạn tth_pro full cho nhé !
Câu c quen thuộc, chém trước:
Ta có BĐT phụ: \(\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}\ge\frac{x^4}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\) \((\ast)\)
Hay là: \(\frac{1}{x^3+\left(y+z\right)^3}\ge\frac{x}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\)
Có: \(8(y^2+z^2) \Big[(x^2 +y^2 +z^2)^2 -x\left\{x^3 +(y+z)^3 \right\}\Big]\)
\(= \left( 4\,x{y}^{2}+4\,x{z}^{2}-{y}^{3}-3\,{y}^{2}z-3\,y{z}^{2}-{z}^{3 } \right) ^{2}+ \left( 7\,{y}^{4}+8\,{y}^{3}z+18\,{y}^{2}{z}^{2}+8\,{z }^{3}y+7\,{z}^{4} \right) \left( y-z \right) ^{2} \)
Từ đó BĐT \((\ast)\) là đúng. Do đó: \(\sqrt{\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}}\ge\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}\)
\(\therefore VT=\sum\sqrt{\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}}\ge\sum\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}=1\)
Done.
+ \(\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2=4\Rightarrow x+y+z+2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)=4\)
\(\Rightarrow\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=1\)
+ \(x+1=x+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)+\sqrt{z}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\)
\(=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{z}\right)\)
+ Tương tự : \(y+1=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\); \(z+1=\left(\sqrt{x}+\sqrt{z}\right)\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\)
+ \(P=\sqrt{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2\left(\sqrt{z}+\sqrt{x}\right)^2}\cdot\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)+\sqrt{y}\left(\sqrt{x}+\sqrt{z}\right)+\sqrt{z}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\left(\sqrt{z}+\sqrt{x}\right)}\)
\(=2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)=2\)
Lời giải:
Ta có:
$(x+y+z)^3=x^3+y^3+z^3+3(x+y)(y+z)(x+z)$
$\Leftrightarrow 1^3=1+3(x+y)(y+z)(x+z)$
$\Leftrightarrow (x+y)(y+z)(x+z)=0$
$\Rightarrow x+y=0$ hoặc $y+z=0$ hoặc $x+z=0$
Không mất tổng quát giả sử $x+y=0$
Kết hợp với $x+y+z=1\Rightarrow z=1$
$\Rightarrow x^2+y^2=0$. Kết hợp với $x+y=0$ suy ra $x=y=0$
Do đó: $M=0^{10}+0^{100}+1^{1000}=1$
TH $y+z=0$ và $z+x=0$ ta cũng thu được điều tương tự
Vậy $M=1$
Mới nghĩ ra 3 câu:
a/ \(\frac{ab}{\sqrt{\left(1-c\right)^2\left(1+c\right)}}=\frac{ab}{\sqrt{\left(a+b\right)^2\left(1+c\right)}}\le\frac{ab}{2\sqrt{ab\left(1+c\right)}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{ab}{1+c}}\)
\(\sum\sqrt{\frac{ab}{1+c}}\le\sqrt{2\sum\frac{ab}{1+c}}\)
\(\sum\frac{ab}{1+c}=\sum\frac{ab}{a+c+b+c}\le\frac{1}{4}\sum\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}\right)=\frac{1}{4}\)
c/ \(ab+bc+ca=2abc\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2\)
Đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)\Rightarrow x+y+z=2\)
\(VT=\sum\frac{x^3}{\left(2-x\right)^2}\)
Ta có đánh giá: \(\frac{x^3}{\left(2-x\right)^2}\ge x-\frac{1}{2}\) \(\forall x\in\left(0;2\right)\)
\(\Leftrightarrow2x^3\ge\left(2x-1\right)\left(x^2-4x+4\right)\)
\(\Leftrightarrow9x^2-12x+4\ge0\Leftrightarrow\left(3x-2\right)^2\ge0\)
d/ Ta có đánh giá: \(\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}\ge\frac{x+y}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\ge0\)
Akai Haruma, Nguyễn Ngọc Lộc , @tth_new, @Băng Băng 2k6, @Trần Thanh Phương, @Nguyễn Việt Lâm
Mn giúp e vs ạ! Thanks!
\(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=2\)
\(\Leftrightarrow x+y+z+2\sqrt{xy}+2\sqrt{yz}+2\sqrt{zx}=4\)
\(\Leftrightarrow2+2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)=4\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}=1\)
Khi đó ta có : \(x+1=x+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)
\(\Leftrightarrow x+1=\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)+\sqrt{z}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\)
\(\Leftrightarrow x+1=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{z}+\sqrt{x}\right)\)
Tương tự : \(y+1=\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\);
\(z+1=\left(\sqrt{z}+\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\)
Ta lần lượt xét các biểu thức :
+) \(\sqrt{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\)
\(=\sqrt{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{z}+\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{z}+\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)}\)
\(=\sqrt{\left[\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{z}+\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\right]^2}\)
\(=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{z}+\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\)
+) \(\frac{\sqrt{x}}{x+1}+\frac{\sqrt{y}}{y+1}+\frac{\sqrt{z}}{z+1}\)
\(=\frac{\sqrt{x}}{\left(\sqrt{y}+\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{z}\right)}+\frac{\sqrt{y}}{\left(\sqrt{y}+\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)}+\frac{\sqrt{z}}{\left(\sqrt{z}+\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)}\)
\(=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)+\sqrt{y}\left(\sqrt{x}+\sqrt{z}\right)+\sqrt{z}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{z}+\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)}\)
\(=\frac{2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)}{\left(\sqrt{z}+\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}\)
\(=\frac{2}{\left(\sqrt{z}+\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}\)
Do đó ta có :
\(P=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{z}+\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\cdot\frac{2}{\left(\sqrt{z}+\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}\)
\(P=2\)
Vậy...
a/ Đơn giản là dùng phép thế:
\(x+2y+x+y+z=0\Rightarrow x+2y=0\Rightarrow x=-2y\)
\(x+y+z=0\Rightarrow z=-\left(x+y\right)=-\left(-2y+y\right)=y\)
Thế vào pt cuối:
\(\left(1-2y\right)^2+\left(y+2\right)^2+\left(y+3\right)^2=26\)
Vậy là xong
b/ Sử dụng hệ số bất định:
\(\left\{{}\begin{matrix}a\left(\frac{x}{3}+\frac{y}{12}-\frac{z}{4}\right)=a\\b\left(\frac{x}{10}+\frac{y}{5}+\frac{z}{3}\right)=b\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(\frac{a}{3}+\frac{b}{10}\right)x+\left(\frac{a}{12}+\frac{b}{5}\right)y+\left(\frac{-a}{4}+\frac{b}{3}\right)z=a+b\) (1)
Ta cần a;b sao cho \(\frac{a}{3}+\frac{b}{10}=\frac{a}{12}+\frac{b}{5}=-\frac{a}{4}+\frac{b}{3}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{a}{3}+\frac{b}{10}=\frac{a}{12}+\frac{b}{5}\\\frac{a}{3}+\frac{b}{10}=-\frac{a}{4}+\frac{b}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\frac{a}{2}=\frac{b}{5}\)
Chọn \(\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=5\end{matrix}\right.\) thay vào (1):
\(\frac{7}{6}\left(x+y+z\right)=7\Rightarrow x+y+z=6\)
có: x+y+z=2=>(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)=4
mà x^2+y^2+z^2=2 =>2(xy+yz+xz)=2
=>xy+yz+xz=1
xét:1+y^2=xy+yz+xz+y^2=(x+y)(z+y)
tương tự :1+z^2=xy+yz+xz+z^2=(x+z)(y+z)
1+x^2=xy+yz+xz+x^2=(x+z)(x+y)
thay vào M ta có :M=\(\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(z+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)}{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}}=\sqrt{\left(y+z\right)^2}\)=/y+z/
Mà x,y,z,\(\in\)Q=>đpcm