Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
`P=1/(x^2+y^2)+1/(xy)+4xy`
`=1/(x^2+y^2)+1/(2xy)+4xy+1/(4xy)+1/(4xy)`
Áp dụng bunhia dạng phân thức
`=>1/(x^2+y^2)+1/(2xy)>=4/(x+y)^2`
Mà `(x+y)^2<=1`
`=>1/(x^2+y^2)+1/(2xy)>=4`
Áp dụng cosi:
`4xy+1/(4xy)>=2`
`4xy<=(x+y)^2<=1`
`=>1/(4xy)>=1`
`=>P>=4+2+1=7`
Dấu "=" `<=>x=y=1/2`
\(2=3\sqrt{xy}+2\sqrt{xz}\le\dfrac{3}{2}\left(x+y\right)+x+z\)
\(\Rightarrow5x+3y+2z\ge4\)
\(A=5\left(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{xz}{y}\right)+3\left(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}\right)+2\left(\dfrac{xz}{y}+\dfrac{yz}{x}\right)\)
\(A\ge5.2x+3.2y+2.2z=2\left(5x+3y+2z\right)\ge8\)
\(A_{min}=8\) khi \(x=y=z=\dfrac{2}{5}\)
\(M=\frac{2x^2+4xy+2y^2+8xy}{x+y}=\frac{2\left(x^2+2xy+y^2\right)+2\cdot4xy}{x+y}=\frac{2\left(x+y\right)^2+2\cdot1}{x+y}\)
\(=2\left(x+y\right)+\frac{2}{x+y}>=2\sqrt{2\left(x+y\right)\cdot\frac{2}{x+y}}=2\cdot\sqrt{4}=2\cdot2=4\)(bđt cosi)
dấu = xảy ra khi x=y=\(\frac{1}{2}\)
vậy min M là 4 khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
\(x+y+z=xyz\Leftrightarrow\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}=1\)
Đặt \(\left(\dfrac{1}{x};\dfrac{1}{y};\dfrac{1}{z}\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow ab+bc+ca=1\)
\(Q=\dfrac{b^2}{a}+\dfrac{c^2}{b}+\dfrac{a^2}{c}+2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(Q\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}+2\left(ab+bc+ca\right)=a+b+c+2\)
\(Q\ge\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}+2=2+\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) hay \(x=y=z=\sqrt{3}\)
bạn sẽ có: 2x^2/(1-x^2) - y = 0 => -2x^2/(x^2 -1) = y => 2x^2/(x^2 - 1) = - y. hay 2 + 2/(x^2 - 1) = -y(1). chứng minh tương tự bạn sẽ có 2y^2/(1-y^2)-z = 0 + => 2 + 2/(y^2-1) = -z(2) và 2z^2/(1-z^2) - x = 0 => 2 + 2/(z^2 -1) = - x(3).bạn đặt x^2 - 1 = a. y^2 - 1 = b. z^2 - 1 = c. => thế vào (1) (2) (3) bạn sẽ có:
2 + 2/b = -căn(c + 1)
2 + 2/a = - căn(b + 1)
2 + 2/c = - căn(a +1)
đặt căn (c+1) = m. căn (b +1) = n. căn (a + 1) = p thay vào hpt sẽ có:
2 + 2/b = -m
2 + 2/a = -n
2 +2/c = -p
giải hệ phương trình này ra bạn sẽ ra được a, b , c và từ đó bạn sẽ tìm ra được x ,y,z còn lại bạn tự làm nốt nhé. Tớ lười tính quá :|
Với y = 0 ta có: \(x^2=\frac{1}{2}\)=> M = 1/2 (1)
Với y khác 0
Ta có: \(M=x^2-xy+y^2=\frac{x^2-xy+y^2}{2x^2-xy+y^2}=\frac{\left(\frac{x}{y}\right)^2-\frac{x}{y}+1}{2\left(\frac{x}{y}\right)^2-\frac{x}{y}+1}\)
Đặt: \(\frac{x}{y}=t\)
Ta có: \(M=\frac{t^2-t+1}{2t^2-t+1}\Leftrightarrow\left(2M-1\right)t^2+\left(1-M\right)t+M-1=0\)(1)
+) Nếu 2M - 1 = 0 <=> M = 1/2 (2)
khi đó: t = 1
+) Nếu M khác 1/2
(1) có \(\Delta=\left(1-M\right)^2-4\left(2M-1\right)\left(M-1\right)=-7M+10M-3\)
Để (1) có nghiệm thì \(\Delta\ge0\)<=> \(\frac{3}{7}\le M\le1\)(3)
Từ (1); (2); (3) ta có GTNN của M = 3/7
Dấu "=" xảy ra <=> t = 2 hay \(\frac{x}{y}=2\Leftrightarrow x=2y\)
Thay vào \(2x^2-xy+y^2=1.\) ta có: \(8y^2-2y^2+y^2=1.\)
<=> \(y=\pm\frac{1}{\sqrt{7}}\)
Với \(y=\frac{1}{\sqrt{7}}\Rightarrow x=\frac{2}{\sqrt{7}}\)
Với \(y=\frac{-1}{\sqrt{7}}\Rightarrow x=\frac{-2}{\sqrt{7}}\)
Kết luận vậy min M = 1 tại ( x ; y ) \(\in\left\{\left(\frac{2}{\sqrt{7}};\frac{1}{\sqrt{7}}\right);\left(\frac{-2}{\sqrt{7}};\frac{-1}{\sqrt{7}}\right)\right\}\)