Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng bđt \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) , dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b
Ta có : \(M=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}\ge\frac{4}{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}}\)
Mặt khác, theo bđt Bunhiacopxki : \(\left(1.\sqrt{1+x^2}+1.\sqrt{1+y^2}\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(2+x^2+y^2\right)\)
\(\Rightarrow\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}\le\sqrt{20}=2\sqrt{5}\)
Do đó : \(M\ge\frac{4}{2\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\). Dấu đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2+y^2=8\\\sqrt{1+x^2}=\sqrt{1+y^2}\end{cases}\Leftrightarrow}x=y=2\)(vì x,y >0)
Vậy \(MinM=\frac{2\sqrt{5}}{5}\Leftrightarrow x=y=2\)
\(A\ge\dfrac{\left(1+2\right)^2}{x+y}=9\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{1}{3};\dfrac{2}{3}\right)\)
\(A=\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{xy}=\left(\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}\right)+\dfrac{1}{2xy}\)
Áp dụng BĐT Schwarz : \(\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{x^2+y^2+2xy}=\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}=4\)
Lại có \(\dfrac{1}{2xy}=\dfrac{2}{4xy}\ge\dfrac{2}{\left(x+y\right)^2}=2\)
Cộng vế với vế được P \(\ge6\) ("=" khi x = y = 1/2)
Vậy Min P = 6 <=> x = y = 1/2
\(B=\left(1-\frac{1}{x^2}\right)\left(1-\frac{1}{y^2}\right)=1-\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}-\frac{1}{x^2y^2}\right)=1-\frac{x^2+y^2-1}{x^2y^2}\)
\(B=1-\frac{\left(x+y\right)^2-2xy-1}{x^2y^2}=1-\frac{-2xy}{x^2y^2}=1+\frac{2}{xy}\)
Cô-si : \(1=x+y\ge2\sqrt{xy}\Leftrightarrow xy\le\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow B\ge1+\frac{2}{\frac{1}{4}}=9\)
Vậy B có GTNN bằng 9 khi x = y = \(\frac{1}{2}\)
\(P=\dfrac{1}{y}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}\right)\ge\dfrac{1}{y}.\dfrac{4}{x+z}=\dfrac{4}{y\left(x+z\right)}\ge\dfrac{4}{\dfrac{\left(y+x+z\right)^2}{4}}=4\)
\(P_{min}=4\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{2};1;\dfrac{1}{2}\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có :
\(P\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\sqrt{1+x^2y^2}=2\sqrt{\frac{1+x^2y^2}{xy}}=2\sqrt{\frac{1}{xy}+xy}\)
\(2\sqrt{\frac{1}{16xy}+xy+\frac{15}{16xy}}\ge2\sqrt{\sqrt{\frac{1}{16xy}.xy}+\frac{15}{4\left(x+y\right)^2}}=\sqrt{17}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
\(2=x+y\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\le1.\)
\(\left(x^4+1\right)\left(y^4+1\right)+2013\ge2x^2.2y^2+2013\ge4+2013=2017\)
Min=2017
Dấu "=" xảy ra khi x=y=1