Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(1\ge x+y\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow1\ge4xy\Rightarrow\frac{1}{xy}\ge4\)
\(\Rightarrow P\ge2\sqrt{\frac{1}{xy}}\cdot\sqrt{1+x^2y^2}=2\sqrt{\frac{1}{xy}+xy}\)
Mà \(\frac{1}{xy}+xy=\frac{15}{16}\cdot\frac{1}{xy}+\frac{1}{16xy}+xy\)
\(\ge\frac{15}{16}\cdot4+2\sqrt{\frac{1}{16xy}\cdot xy}=\frac{15}{16}\cdot4+\frac{2}{4}=\frac{17}{4}\)
\(\Rightarrow P\ge2\cdot\frac{\sqrt{17}}{2}=\sqrt{17}\) xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
Cho x,y là các số dương thỏa mãn \(x+\frac{1}{y}\le1\) . Tìm GTNN của \(P=\frac{x}{2y}+\frac{y}{x}\)
Đặt: \(\frac{1}{y}=t\)> 0
Ta có: \(x+t\le1\)
\(P=\frac{xt}{2}+\frac{1}{xt}=\frac{xt}{2}+\frac{1}{32xt}+\frac{31}{32xt}\ge2\sqrt{\frac{xt}{2}.\frac{1}{32xt}}+\frac{31}{\frac{32\left(x+t\right)^2}{4}}=\frac{33}{8}\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = t = 1/2 hay x = 1/2 và y = 2
Vậy GTNN của P = 33/8 đạt tại x =1/2 và y =2 .
\(A=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\).Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz,ta có:
\(=\left(1-\frac{1}{x+1}\right)+\left(1-\frac{1}{y+1}\right)+\left(1-\frac{1}{z+1}\right)\)
\(=\left(1+1+1\right)-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
\(\ge3-\frac{9}{\left(x+y+z\right)+\left(1+1+1\right)}=\frac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1/3
Vậy A min = 3/4 khi x=y=z=1/3
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có :
\(P\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\sqrt{1+x^2y^2}=2\sqrt{\frac{1+x^2y^2}{xy}}=2\sqrt{\frac{1}{xy}+xy}\)
\(2\sqrt{\frac{1}{16xy}+xy+\frac{15}{16xy}}\ge2\sqrt{\sqrt{\frac{1}{16xy}.xy}+\frac{15}{4\left(x+y\right)^2}}=\sqrt{17}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
Áp dụng bđt Cô-si cho 2 số dương \(\frac{x}{2};\frac{8}{y}\) ta có:
\(\frac{x}{2}+\frac{8}{y}\ge2\sqrt{\frac{x}{2}\frac{8}{y}}=4\sqrt{\frac{x}{y}}\)
\(\Leftrightarrow2\ge4\sqrt{\frac{x}{y}}\Leftrightarrow0< \sqrt{\frac{x}{y}}\le\frac{1}{2}\Leftrightarrow0< \frac{x}{y}\le\frac{1}{4}\)
Đặt \(\frac{x}{y}=t\left(0< t\le\frac{1}{4}\right)\Rightarrow-t\ge\frac{-1}{4}\)
Ta có: \(K=t+\frac{2}{t}=32t+\frac{2}{t}-31t\ge2\sqrt{32t.\frac{2}{t}}-31t\ge16-\frac{31}{4}=\frac{33}{4}\)
Dấu '=' xảy ra <=> \(t=\frac{1}{4}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=8\end{cases}}\)
Vậy GTNN của K là \(\frac{33}{4}\) tại x=2;y=8
\(2\ge\frac{x}{2}+\frac{8}{y}\ge2\sqrt{\frac{x}{2}.\frac{8}{y}}=4\sqrt{\frac{x}{y}}\Leftrightarrow\sqrt{\frac{x}{y}}\le\frac{1}{2}\Leftrightarrow\frac{y}{x}\ge4\)
\(K=\frac{x}{y}+\frac{2y}{x}=\frac{x}{y}+\frac{y}{16x}+\frac{31y}{16x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{16x}}+\frac{31}{16}.4=\frac{33}{4}\)
Dấu \(=\)xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{x}{2}=\frac{y}{8}\\\frac{x}{2}+\frac{y}{8}=2\\\frac{x}{y}=\frac{y}{16x}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=8\end{cases}}\).
Tham khảo link này nha
https://olm.vn/hoi-dap/detail/243232541423.htm
\(K=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{3}{2xy}+24xy-20xy\)
\(\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+12-\frac{20\left(x+y\right)^2}{4}=11\)
Check xem có sai chỗ nào ko:v
Trời! Chứng minh vậy đọc ai hiểu được chời :)))
Vì \(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}=\frac{1^2}{x^2+y^2}+\frac{1^2}{2xy}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+2xy+y^2}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\)
\(\frac{3}{2xy}+24xy\ge2\sqrt{\frac{3}{2xy}.24xy}=12\)
Lại quên dấu bằng xảy ra kìa em.
"=" xảy ra <=> x=y=1/2
Lời giải
Dư đoán xảy ra cực trị tại \(x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Ta biến đổi P như sau: \(P=\left(2x+\frac{1}{x}\right)+\left(2y+\frac{1}{y}\right)-\left(x+y\right)\)
\(\ge2\sqrt{2x.\frac{1}{x}}+2\sqrt{2y.\frac{1}{y}}-\left(x+y\right)\)\(=4\sqrt{2}-\left(x+y\right)\)
\(=4\sqrt{2}-\sqrt{2}\left(\sqrt{x^2.\frac{1}{2}}+\sqrt{y^2.\frac{1}{2}}\right)\)
\(\ge4\sqrt{2}-\sqrt{2}\left(\frac{x^2+y^2+1}{2}\right)=4\sqrt{2}-1\sqrt{2}=3\sqrt{2}\)
Vậy ...
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x=a\\\frac{1}{y}=b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow1\ge a+b\ge2\sqrt{ab}\Rightarrow ab\le\frac{1}{4}\Rightarrow\frac{1}{ab}\ge4\)
\(P=\frac{ab}{2}+\frac{1}{ab}=\frac{ab}{2}+\frac{1}{32ab}+\frac{31}{32}.\frac{1}{ab}\ge2\sqrt{\frac{ab}{64ab}}+\frac{31}{32}.4=\frac{33}{8}\)
\(P_{min}=\frac{33}{8}\) khi \(a=b=\frac{1}{2}\) hay \(\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{1}{2}\\y=2\end{matrix}\right.\)
Phạm Vũ Trí Dũng Đỗ Hải Đăng Nguyễn Lê Phước Thịnh giúp vs