Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+xy}\right)+\left(\frac{1}{1+y^2}-\frac{1}{xy}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{xy-x^2}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}+\frac{xy-y^2}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow x\left(y-x\right)\left(1+y^2\right)+y\left(x-y\right)\left(1+x^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(y-x\right)\left(x+xy^2-y-x^2y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(y-x\right)^2\left(xy-1\right)\ge0\)(đúng với mọi x,y>=1)
\(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}\)
<=> \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}-\frac{2}{1+xy}\ge0\)
<=> \(\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+xy}+\frac{1}{1+y^2}-\frac{1}{1+xy}\ge0\)
Rồi bạn quy đồng mẫu lên và phân tích tử và mẫu thành nhân tử => chứng minh tử \(\ge\) 0 và mẫu >0 nhé
=> ĐPCM
\(\Leftrightarrow\frac{x^2+y^2+2x+2y+2}{\left(1+x+y+xy\right)^2}\ge\frac{1}{1+xy}\)
\(\Leftrightarrow\left(1+xy\right)\left[\left(x-y\right)^2+2\left(xy+x+y+1\right)\right]\ge\left(1+x+y+xy\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(1+xy\right)\left(x-y\right)^2+\left(1+x+y+xy\right)\left(2+2xy-1-x-y-xy\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(1+xy\right)\left(x-y\right)^2+\left(xy+1+x+y\right)\left(xy+1-x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(1+xy\right)\left(x-y\right)^2+\left(xy+1\right)^2-\left(x+y\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+xy\left(x-y\right)^2+x^2y^2+1-x^2-y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow xy\left(x-y\right)^2+\left(xy-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
quy đồng BĐT \(\frac{\left(xy-1\right)\left(x-y\right)^2}{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)\left(xy+1\right)}\ge0\forall xy\ge1\)
bai thi .....................kho..........................kho..............troi.................thilanh.............................ret..................wa.........................dau................wa......................tich....................ung.....................ho.....................cho............do.................lanh...............tho...................bang..................mom...................thi...................nhu..................hut.....................thuoc................la.................lanh wa
Ta có 1+x2+1+y2=2+x2+y2,2/1+xy=2+xy. Do 2=2 nên ta cần so sánh x2+y2 với xy với x,y>=1 và x,y thuộc R.
Già sử x<y thì xy<y2 và y2<x2+y2 nên xy<x2+y2 (1)
Giả sử x>y thì xy<x2và x2<x2+y2nên xy<x2+y2(2)
Giả sử x=y thì xy=x2=y2 và x2<x2+y2 nên xy<x2+y2(3)
Kết hợp 1,2,3 suy ra xy luôn bé hơn x2+y2 . Suy ra đpcm
Chuyển vế biến đổi tương đương
\(\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{xy+1}+\frac{1}{1+y^2}-\frac{1}{xy+1}\ge0\)
*Áp dụng Cosi với x,y>0 ta có:
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\left(1\right)\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\left(2\right)\)
Nhân (1),(2) có: \(\left(x+y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\ge4\RightarrowĐPCM\)
**\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{x\left(x+y\right)}+\frac{1}{y\left(x+y\right)}+\frac{1}{x^2+y^2}\)
Ta có: \(\frac{1}{x\left(x+y\right)}+\frac{1}{y\left(x+y\right)}\ge\frac{4}{x^2+2xy+y^2}=4\)
Có: \(\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\le4\)
Theo Cosi ta có: \(xy\le\left(\frac{x+y}{2}\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{1}{xy}\ge\left(\frac{2}{x+y}\right)^2\ge\left(\frac{2}{1}\right)^2=4\)
Áp dụng Cosi ta có: \(2xy\left(x^2+y^2\right)\le\left(\frac{x^2+2xy+y^2}{2}\right)^2=\frac{\left(x+y\right)^4}{4}\le\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow xy\left(x^2+y^2\right)\le\frac{1}{8}\)(1)
Mà ta có ở trên: \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\le\frac{1}{4}\)(2)
Từ (1) và (2) ta có: \(x^2+y^2\le\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{1}{x^2+y^2}\ge2\)
Vậy Ta có: \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\ge4+4+2=10\)
Với x=y=1/2