Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1.
PT $\Leftrightarrow y^2+2xy+x^2=x^2+3x+2$
$\Leftrightarrow (x+y)^2=(x+1)(x+2)$
Với $x\in\mathbb{Z}$ dễ thấy rằng $(x+1,x+2)=1$. Do đó để tích của chúng là scp thì $x+1,x+2$ cũng là những scp.
Đặt $x+1=a^2, x+2=b^2$ với $a,b\in\mathbb{N}$
$\Rightarrow b^2-a^2=1\Leftrightarrow (b-a)(b+a)=1$
Với $a,b\in\mathbb{N}$ dễ thấy $b-a=b+a=1$
$\Rightarrow b=1; a=0$
$\Rightarrow x=-1$
$(x+y)^2=(x+1)(x+2)=0\Rightarrow y=-x=1$
Vậy $(x,y)=(-1,1)$
2.
Đặt $x-1=a$ thì bài toán trở thành:
Cho $a,y>0$. CMR:
$\frac{1}{a^3}+\frac{a^3}{y^3}+\frac{1}{y^3}\geq 3(\frac{1-2a}{a}+\frac{a+1}{y})$
$\Leftrightarrow \frac{1}{a^3}+\frac{a^3}{y^3}+\frac{1}{y^3}+6\geq \frac{3}{a}+\frac{3a}{y}+\frac{3}{y}$
BĐT trên luôn đúng do theo BĐT AM-GM thì:
$\frac{1}{a^3}+1+1\geq \frac{3}{a}$
$\frac{1}{y^3}+1+1\geq \frac{3}{y}$
$\frac{a^3}{y^3}+1+1\geq \frac{3a}{y}$
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=y=1$
$\Leftrightarrow x=2; y=1$
Ta có : \(\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow x-1-2\sqrt{x-1}+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow x\ge2\sqrt{x-1}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{\sqrt{x-1}}\ge2\)
Tương tự : \(\left(\sqrt{y-1}-1\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow y-1-2\sqrt{y-1}+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow y\ge2\sqrt{y-1}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{y}{\sqrt{y-1}}\ge2\)
\(A=\dfrac{\left(x^3+y^3\right)-\left(x^2+y^2\right)}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}\)
\(=\dfrac{x^2\left(x-1\right)+y^2\left(y-1\right)}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}\)
\(=\dfrac{x^2}{y-1}+\dfrac{y^2}{x-1}\)
Theo BĐT Cô - si cho hai số không âm ta có :
\(\dfrac{x^2}{y-1}+\dfrac{y^2}{x-1}\ge2\sqrt{\dfrac{x^2y^2}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}}=2.\dfrac{x}{\sqrt{x-1}}.\dfrac{y}{\sqrt{y-1}}\ge2.2.2=8\)
Vậy GTNN của A là 8 . Khi và chỉ khi \(x=y=2\)
Đặt \(\left(x-1;y-1\right)=\left(a;b\right)\Rightarrow\left(x;y\right)=\left(a+1;b+1\right)\)
\(VT=\dfrac{\left(a+1\right)^3+\left(b+1\right)^3-\left(a+1\right)^2-\left(b+1\right)^2}{ab}=\dfrac{a^3+a+b^3+b+2\left(a^2+b^2\right)}{ab}\)
\(VT\ge\dfrac{2a^2+2b^2+2\left(a^2+b^2\right)}{ab}=\dfrac{4\left(a^2+b^2\right)}{ab}\ge\dfrac{8ab}{ab}=8\)