Question

[gtrutykyu]

Cho tứ giác ABCD. Trên cạnh AB lấy các điểm E, F sao cho AE = EF = FB. Trên cạnh CD lấy các điểm G, H sao cho DG = GH = HC. Gọi M, I, K, N theo thứ tự là trung điểm của AD, EG, FH, BC. Chứng minh rằng bốn điểm M, I, K, N thẳng hàng

Answer 1

[Hàn Vũ]

Xét tam giác EGB có

F là trung điểm EB (EF=FB)

I là trung điểm EG (gt)

\(\Rightarrow\) IF là đường trung bình ( định nghĩa đường trung bình)

\(\Rightarrow IF\)// GB và IF = 1/2 GB ( tính chất đường trung bình) ⁽¹⁾

Xét tam giác BCG có

N là trung điểm BC (gt)

H là trung điểm GC (GH=HC)

\(\Rightarrow\) HN là đưòng trung bình (định nghĩa đường trung bình)

\(\Rightarrow\) HN // BG và HG=1/2BG (tính chất đg trung bình) ⁽²⁾

Từ (1) và (2) suy ra ÌF // HN và IF=HN

suy ra FNHI là hình bình hành

Có K là trung điểm FH (gt)

suy ra K là trung điểm IN ^(I)

Xét tam giác AGH có

M là trung điểm AD (gt)

G là trung điểm DH (DG=GH)

suy ra MG là đg trung binh (đ/n đường trung bình)

suy ra MG//AH và MG=1/2 AH (t/c đg trung bình) ⁽³⁾

Xét tam giác ÀFH ta có

E là trung điểm AF(AE=EF)

K là trung điểm FH(gt)

suy ra EK là đg trung bình (đ/n đg trung bình)

suy ra EK//AH và EK =1/2AH (t/c đuờng trung bình) ⁽⁴⁾

Từ (3) và (4) suy ra EK//MG và EK=MG

suy ra EKGM là hình bình hành

CÓ I là trung điểm EG (gt)

suy ra I là trung điểm MK ^(II)

Từ (I) và (II) suy ra M,I,K,N thẳng hàng và MI=IK=KN