NT
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NH
0
NN
5 tháng 5 2017
Ta có: \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)>0\)
\(=\left(ab-a-b+1\right)\left(c-1\right)>0\)
\(=a+b+c-ab-bc-ca>0\)
\(=a+b+c-\frac{c}{ab}-\frac{a}{bc}-\frac{b}{ac}>0\)
\(\Leftrightarrow a+b+c>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\) (Đúng)
Vậy \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)>0\) (Đpcm)
3 tháng 5 2017
Đặt \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)>0\) là ( 1)
Ta có : \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)>0\)
\(=\left(ab-a-b+1\right)\left(c-1\right)>0\)
\(=a+b+c-ab-bc-ca>0\)
\(=a+b+c-\dfrac{c}{ab}-\dfrac{a}{bc}-\dfrac{b}{ac}>0\)
\(\Leftrightarrow a+b+c>\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\) ( 2 )
BĐT ( 2 ) đúng . Từ đây ta có thể thấy BĐt ( 1 ) cũng đúng :D
KN
9 tháng 11 2019
Ta có: \(a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(\Leftrightarrow a+b+c=\frac{ab+bc+ac}{abc}\)
\(\Leftrightarrow a+b+c=ab+bc+ac\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ac-a-b-c=0\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ac-a-b-c+abc-1=0\)(Vì abc = 1)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\)Hoặc a - 1 = 0 hoặc b - 1 = 0 hoặc c - 1 = 0
\(\Leftrightarrow\)Hoặc a = 1 hoặc b = 1 hoặc c = 1
Vậy có ít nhất một trong ba số a,b,c bằng 1 (đpcm)
S
10 tháng 8 2018
Cho abc=0 thì không chứng minh được, a+b+c=0 là đủ rồi
Ta có: a+b+c=0 => a+b=-c
=>(a+b)2=(-c)2
=>a2+2ab+b2=c2
=>a2+b2-c2=-2ab
Tương tự ta có: b2+c2-a2=-2bc ; c2+a2-b2=-2ca
=>\(\frac{1}{b^2+c^2-a^2}+\frac{1}{c^2+a^2-b^2}+\frac{1}{a^2+b^2-c^2}=-\frac{1}{2bc}-\frac{1}{2ca}-\frac{1}{2ab}=\frac{a+b+c}{-2abc}=0\) (đpcm)
D
31 tháng 8 2018
Cho \(abc=0\)thì không chứng minh được, \(a+b+c=0\)là đủ rồi.
Ta có: \(a+b+c=0\Rightarrow a+b=-c\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2=\left(-c\right)^2\)
\(\Rightarrow a^2+2ab+b^2=c^2\)
\(\Rightarrow a^2+b^2-c^2=-2ab\)
Tương tự ta có: \(b^2+c^2-a^2=-2ab;c^2+a^2-b^2=-2ca\)
\(\Rightarrow\frac{1}{b^2+c^2-a^2}+\frac{1}{c^2+a^2-b^2}+\frac{1}{a^2+b^2-c^2}=-\frac{1}{2bc}-\frac{1}{2ca}-\frac{1}{2ab}=\frac{a+b+c}{-2abc}=0\)
4 tháng 8 2017
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{a}\\y=\dfrac{1}{b}\\z=\dfrac{1}{c}\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x,y,z>0\\xyz=1\end{matrix}\right.\) và BĐT cần chứng minh là:
\(\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{x+z}+\dfrac{z^2}{x+y}\ge\dfrac{3}{2}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel và AM-GM ta có:
\(VT=\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{x+z}+\dfrac{z^2}{x+y}\)
\(\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\dfrac{x+y+z}{2}\ge\dfrac{3\sqrt[3]{xyz}}{2}=\dfrac{3}{2}=VP\)
Xảy ra khi \(x=y=z=1 \Rightarrow a=b=c=1\)
4 tháng 8 2017
ai tick cho mik , mik tick lại cho !^__<
nhớ giải câu hỏi nhé ! thanks
C
20 tháng 4 2017
Từ (a-1)(b-1)(c-1)>0 (*)
<=>(ab-b-a+1)(c-1)>0
<=> abc-ab-bc+b-ac+a+c-1>0
<=> a+b+c-ab-ac-bc>0
<=> a+b+c-\(\dfrac{abc}{c}-\dfrac{abc}{b}-\dfrac{abc}{a}\)>0
<=> a+b+c - \(\dfrac{1}{c}-\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{a}>0\)
<=> \(a+b+c>\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\) ( 1)
(1) đúng => (*) đúng
TK
2
2 tháng 5 2017
Ta có:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\) = \(\overline{\frac{\overline{bc}+\overline{ac}+\overline{ac}}{\overline{abc}}}\) = ab + bc + ca
=> a + b + c = ab + bc + ca
=> a + b + c - ab - bc - ca = 0
=> a + b + c - ab - bc - ac + abc - 1 = 0
=> (a - ab) + (b - 1) + (c - bc) + (abc - ac) = 0
=> - a(b - 1) + (b - 1) - c(b - 1) + ac(b - 1) = 0
=> (b - 1)(- a + 1 - c + ac) = 0
=> (b - 1)[( - a + 1) + (ac - c)] = 0
=> (b - 1)[ - (a - 1) + c(a - 1)] = 0
=> (a - 1)(b - 1)(c - 1) = 0
=> a - 1 = 0 hoặc b - 1 = 0 hoặc c - 1 = 0
=> a = 1 hoặc b = 1 hoặc c = 1
Vậy (a - 1)(b - 1)(c - 1) > 1
2 tháng 5 2017
\(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)>0\)
\(\Leftrightarrow\left(ab-a-b+1\right)\left(c-1\right)>0\)
\(\Leftrightarrow abc-ac-bc+c-ab+a+b-1>0\)
\(\Leftrightarrow-ab-bc-ab+a+b+c>0\)
\(\Leftrightarrow a+b+c>ab+ac+bc\)
\(\Leftrightarrow a+b+c>\frac{abc}{a}+\frac{abc}{b}+\frac{abc}{c}\)
\(\Leftrightarrow a+b+c>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\) (thỏa mãn đề bài)
Vậy \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)>0\)