Question

[Thầy Cao Đô]

Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O;R)$. Hai đường cao $BD$, $CE$ của tam giác $ABC$ cắt nhau tại $H$. Các tia $BD$, $CE$ cắt đường tròn $(O;R)$ lần lượt tại điểm thứ hai là $P$, $Q$.

1. Chứng minh rằng tứ giác $BCDE$ nội tiếp và cung $AP$ bằng cung $AQ$.

2. Chứng minh $E$ là trung điểm của $HQ$ và $OA \perp DE $.

3. Cho $\widehat{CAB} = 60^{\circ}$ , $R = 6$ cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $AED$.

Answer 1

[ღᏠᎮღ🆃🆄ấ🅽ঔ 🅽🅰🅼ঌ❄๖ۣۜ]

1.

Chứng minh được $\widehat{CEB}=\widehat{BDC}=90^{\circ }$.

Suy ra $4$ điểm B,E, D, C cùng thuộc đường tròn đường kính CB nên tứ giác BCDE nội tiếp.

Có tứ giác BCDE nội tiếp nên $\widehat{DCE}=\widehat{DBE}$ ($2$ góc nội tiếp cùng chắn cung DE) hay $\widehat{ACQ}=\widehat{ABP}$.

Trong đường tròn tâm (O), ta có $\widehat{ACQ}$ là góc nội tiếp chắn cung AQ và $\widehat{ABP}$ nội tiếp chắn cung AP

$\Rightarrow \stackrel{⌢}{\mathrm{AQ}}=\stackrel{⌢}{\mathrm{AP}}$.

2.

(O) có $\stackrel{⌢}{\mathrm{AQ}}=\stackrel{⌢}{\mathrm{AP}}$ nên $\widehat{ABP}=\widehat{ABQ}$ hay $\widehat{HBE}=\widehat{QBE}$.

Ta chứng minh được BE vừa là đường cao, vừa là phân giác của tam giác HBQ nên E là trung điểm của HQ.

Chứng minh tương tự D là trung điểm của HP \Rightarrow DE là đường trung bình của tam giác HPQ \Rightarrow DE // PQ (1).

Do $\stackrel{⌢}{\mathrm{AQ}}=\stackrel{⌢}{\mathrm{AP}}$ nên A là điểm chính giữa cung PQ \Rightarrow OA \perp PQ (2).

Từ (1) và (2) suy ra OA \perp DE.

3.

Kẻ đường kính CF của đường tròn tâm (O), chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp đường tròn đường kính AH.

Chứng minh tứ giác AFBH là hình bình hành, suy ra BF=AH.

Trong đường tròn (O) có $\widehat{CAB}=\widehat{CFB}=60^{\circ }$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BC). Chỉ ra tam giác BCF vuông tại B và áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc ta được BF=CF. \cos 60^{\circ} =R=6 cm.

Đường tròn ngoại tiếp tứ giác ADHE cũng là đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE.

Gọi r là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE.

Suy ra 2r=AH=BF=6 cm.

Vậy r=3 cm.

Answer 2

[Bùi Minh Thùy]