Question

[Huỳnh Thiện]

Cho tam giác nhọn ABC (AC>AB) có các đường cao AA' , BB' , CC' và trực tâm H. Gọi (O) là đường tròn tâm O, đường kính BC. Từ A kẻ các tiếp tuyến AM , AN tới đường tròn (O) (M , N là các tiếp điểm). Gọi M' là giao điểm thứ hai của A'N và đường tròn (O), K là giao điểm của OH và B'C'. CMR : \(\frac{KB'}{KC'}=\left(\frac{HB'}{HC'}\right)^2\)

Answer 1

[Trần Hippo]

Qua O kẻ đường thẳng d song song với B'C' , d cắt BB' và CC' lần lượt tại D , E

Áp dụng hệ quả định lý Ta - lét , ta có :

\(\Rightarrow\frac{KB'}{OD}=\frac{KH}{OH}=\frac{KC'}{OE}\)  \(\Rightarrow\frac{KB'}{KC'}=\frac{OD}{OE}\left(1\right)\)

Ta có : \(\widehat{BDO}=\widehat{ECO}\)(Vì cùng bằng \(\widehat{BB'C}\)) và \(\widehat{BOD}=\widehat{EOC}\)

\(\Rightarrow\Delta DBO\infty\Delta CEO\)\(\Rightarrow\frac{OD}{OC}=\frac{OB}{OE}\)\(\Rightarrow OD.OE=OC^2\)\(\Rightarrow\frac{OD}{OE}=\frac{OC^2}{OE^2}\)\(\left(2\right)\)

Lấy F \(\left(F\ne E\right)\)trên cùng đường thẳng CC' sao cho \(OE=OF\)

Lại có : \(\widehat{HB'C'}=\widehat{OCF}\)

\(\Rightarrow\Delta B'C'H\infty\Delta CFO\) \(\Rightarrow\frac{HB'}{HC'}=\frac{OC}{OF}\)\(\Rightarrow\frac{HB'}{HC'}=\frac{OC}{OE}\)\(\left(3\right)\)

Từ \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\)\(\Rightarrow\frac{KB'}{KC'}=\left(\frac{HB'}{HC'}\right)^2\)\(\left(đpcm\right)\)