Question

[nguyen thuy linh]

Cho tam giác ABC.Trên tia đối của các tia CB;AC;BA lần lượt lấy các điểm A1;B1;C1 sao cho CA1=AB1=BC1 .Chứng minh rằng nêu A1B1C1 là tam giác đều thì tam giác ABC cũng là tam giác đều .

Answer 1

[Đức Hiếu]

Gọi \(\widehat{A};\widehat{B};\widehat{C}\) là các góc của tam giác ABC. Kí hiệu các số đo góc x;y;z;x';y';z' nhưng hình vẽ trên.

Giả sử \(A_1B_1C_1\) là tam giác đều.

Không mất tính tổng quát, ta giả sử \(x\ge y\ge z\)

Xét các tam giác có hai cạnh tương ứng bằng nhau, ta có \(CB_1\ge AC_1\ge BA_1\)

hay \(CA\ge AB\ge BC\) (vì \(AB_1=BC_1=CA_1\))

Suy ra \(\widehat{B}\ge\widehat{C}\ge\widehat{A}\).(1)

Do tam giác \(A_1B_1C_1\) là tam giác đều nên \(x+x'=y+y'=z+z'\left(=60^o\right)\)

suy ra \(x'\le y'\le z'\)

Ta có: \(\widehat{A}=y+z'\ge z+x'=\widehat{B}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{B}\ge\widehat{C}\ge\widehat{A}\ge\widehat{B}\), do đó \(\widehat{B}=\widehat{C}=\widehat{A}\)

Vậy tam giác ABC là tam giác đều.

Chúc bạn học tốt!!!