Question

[Nguyễn Thị Ngọc Lan]

Cho tam giác ABC vuông tại B ( BA<BC) . Gọi M là trung điểm của AC, từ M kẻ MH vuông góc với AB, MK vuông góc với BC(H thuộc AB, K thuộc BC).

a) C/m tứ giác BKMH là hình chữ nhật và BM=KH

b) Gọi n là điểm đối xứng với M qua K. C/m tứ giác BMCN là hình thoi. Tam giác ABC có thêm điều kiện gì thì tứ giác BMCN là hình vuông?

c) C/m ba đường thẳng BM,HK,AN đồng quy

d) Gọi D là giao điểm của AK và CN. C/m: DC= 2 DN

Answer 1

[Cô Hoàng Huyền]

a) Xét tứ giác BHMK có 3 góc vuông nên nó là hình chữ nhật.

Khi đó hai đường chéo bằng nhau nên BM = HK.

b) Xét tam giác ABC có M là trung điểm AC, MK // AB nên MK là đường trung bình.

Vậy thì K là trung điểm BC.

Xét tứ giác BMCN có K là trung điểm hai đường chéo nên nó là hình bình hành.

Lại có MN vuông góc BC nên BMCN là hình thoi.

Dễ thấy rằng MK = AB/2 hay MN = AB.

Để hình thoi BMCN là hình vuông thì MN = BC hau AB = BC.

Vậy tam giác ABC là tam giác vuông cân tại B thì BMCN là hình vuông.

c) Ta có BHMK là hình chữ nhật nên BM giao HK tại trung điểm mỗi đường.

Dễ thấy tứ giác ABNM có AB song song và bằng NM nên nó là hình bình hành.

Vậy nên BM giao AM tại trung điểm mỗi đoạn.

Từ đó ta có BM, HK, AN đồng quy tại trung điểm mỗi đoạn.

d) Gọi giao điểm của BM, HK và AN làO, giao của BM và AK là I.

Ta có:  do KM // AB, áp dụng Talet:

 \(\frac{IM}{BI}=\frac{MK}{AB}=\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{IM}{BO+OI}=\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{IM}{IM+OI+OI}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow IM=2OM\)

Áp dụng Talet cho tam giác AND và ADC ta có:

\(\frac{OI}{DN}=\frac{AI}{AD}=\frac{IM}{DC}\Rightarrow\frac{OI}{DN}=\frac{IM}{DC}\Rightarrow DC=2ND\)