Question

[Thành đz]

Cho tam giác ABC vuông tại A với AB < AC. Giả sử tồn tại hai đường tròn (P) và (Q) có bán kính bằng nhau và tiếp xúc với nhau sao cho đường tròn (P) tiếp xúc với cạnh AB và cạnh BC, đường tròn (Q) tiếp xúc với cạnh AC và cạnh BC . Gọi M, N thứ tự là tiếp điểm của BC với (P) và (Q). Chứng minh rằng tia phân giác của góc BAC đi qua trung điểm của MN.

 Cho m hỏi bài này với ạ

Answer 1

[An Thy]

Gọi F là trung điểm MN.\(C_1\) là tiếp điểm của (P) và (Q).\(FC_1\) cắt AB,AC tại D,E.

\(\Rightarrow\left(P\right),\left(Q\right)\) lần lượt là đường tròn nội tiếp của \(\Delta DBF,\Delta EFC\)

Dễ dàng chứng minh được PQNM là hình chữ nhật (có 3 góc vuông) 

\(\Rightarrow FC_1\bot BC\)

Xét \(\Delta DFB\) và \(\Delta CFE:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle EFC=\angle BFD=90\\\angle ECF=\angle BDF=90-\angle ABC\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta DFB\sim\Delta CFE\left(g-g\right)\)

mà bán kính đường tròn nội tiếp \(\Delta DFB,\Delta CFE\) bằng nhau

\(\Rightarrow\Delta DFB=\Delta CFE\Rightarrow DF=FC\Rightarrow\Delta DFC\) vuông cân tại F

Ta có: \(\angle DAC=\angle DFC=90\Rightarrow DAFC\) nội tiếp

\(\Rightarrow\angle FAC=\angle FDC=45\Rightarrow\) AF là phân giác \(\angle BAC\Rightarrow\) đpcm