Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Xét ΔABC vuông tại A có
\(cotB=\dfrac{BA}{AC};cotC=\dfrac{AC}{AB}\)
\(cotB+cotC=\dfrac{BA}{AC}+\dfrac{AC}{AB}\)
\(=\dfrac{AB^2+AC^2}{AB\cdot AC}=\dfrac{BC^2}{AB\cdot AC}\)
\(=\dfrac{BC}{AB\cdot AC}\cdot BC=\dfrac{BC}{AH}\)
Kẻ đg cao AH, trung tuyến AD, trọng tâm G
Tg AHD vuông tại H nên \(AH\le AD\Rightarrow\dfrac{BC}{AH}\ge\dfrac{BC}{AD}\left(4\right)\)
Ta có \(\cot\widehat{B}+\cot\widehat{C}=\dfrac{BH}{AH}+\dfrac{CH}{AH}=\dfrac{BC}{AH}\ge\dfrac{BC}{AD}\left(1\right)\)
Mà BM vuông góc CN nên GD là trung tuyến ứng vs ch BC
\(\Rightarrow BC=2GD\left(2\right)\)
Mà G là trọng tâm nên \(3GD=AD\left(3\right)\)
\(\left(1\right)\left(2\right)\left(3\right)\left(4\right)\Rightarrow\cot\widehat{B}+\cot\widehat{C}\ge\dfrac{BC}{AD}=\dfrac{2GD}{3GD}=\dfrac{2}{3}\)
Do \(\Delta\)ABC vuông tại A \(\Rightarrow\) cot B = tan C
\(\Rightarrow\) cot B + cot C = tan C + cot C
Áp dụng BĐT Cô-si ta có
tan C + cot C \(\ge\) \(2\sqrt{tanC.cotC}\) = 2 ( do tan C.cotC =1)
\(\Rightarrow\) cot B + cot C \(\ge\) 2
Dấu "=" xảy ra\(\Leftrightarrow\) \(\widehat{B}\) = \(\widehat{C}\) =45o
\(\Rightarrow\) \(\Delta\) ABC vuông cân tại A