Question

[Nguyễn Thị Huyền Trang]

Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Tia phân giác góc B cắt AC ở D, tia phân giác góc C cắt AB ở E. Gọi I là giao điểm của BD và CE. Đường thẳng song song với AI kẻ từ E cắt BD tại M. Đường thẳng song song với AI kẻ từ D cắt CE tại N.

a, Tính góc BIC

b, Chứng minh: tam giác ADE vuông cân và AI là phân giác của góc BAC.

c, Chứng minh ED song song với BC và AI vuông góc với BC.

d, chứng minh 4 điểm M,D,N,E cách đều điểm I

Answer 1

[Nguyễn Tuấn Minh]

a, Xét tam giác ABC vuông cân tại A

=> góc ABC= góc ACB = 45 độ ( t/c)

=> góc CBI= góc BCI =45 độ/2 = 22,5 độ ( do BD và CE là đường phân giác)=> tam giác BIC cân tại I (DHNB)

+) Xét tam giác BIC có

góc CBI + góc BCI + góc BIC =180 độ

=> góc BIC =180 độ - 22,5 độ-22,5độ

=> góc BIC = 135 độ => đpcm

b, Có tam giác BIC cân tại I (cmt)=> IB = IC ( t/c)

+) Xét tam giác AIB và tam giác AIC có

IB =IC (cmt)

AB = AC (tam giác ABC vuông cân)

chung AI

=> góc BAI = góc CAI=> AI là tia phân giác góc BAC

+) Xét tam giác BIE và tam giác CID có

góc BIE = góc CID ( t/c 2goc đối đỉnh)

CI = IB ( cmt)

góc IBE = góc ICD( cùng =22,5độ)

=> tam giác BIE =tam giác CID=> BE = CD ( cạnh tg ứng)

MÀ AB =AC ( tam giác ABC vuông cân tại A)

=> AE =AD

Mà góc ABC =90 độ ; E,B, A thẳng hàng; A,D , C thẳng hàng

=> tam giác EAD vuông cân tại A

+) có tam giác EAD cân tại A

=> góc EDA = (180 độ - góc BAC):2(1)

+) có tam giác BAC cân tại A

=> góc ACB = (180 độ - góc BAC ):2(2)

Từ (1),(2.) => góc ACB = góc EDA

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị => ED //BC (DHNB)

+) Gọi AI giao BC tại K

có góc BAI = góc CAI, mà A,I,K thẳng hàng=> góc BAK= góc CAK

+) Xét tam giác BAK và tam giác CAK có

AC =AB( do tam giác ABC vuông cân tại A)

góc BAK =góc CAK (cmt)

Chung AK

=> tam giác BAK = tam giác CAK ( c.g.c- " con gà con"^^)

=> góc AKC= góc AKB (góc tg ứng)

Mà AKC +AKB =180 độ ( t.c 2goc kề bù)

=> góc AKC =90 độ => AK vuông góc BC tại K=> AI vuông góc BC ( A,I ,K thẳng hàng)

Answer 2

[Nguyễn Tuấn Minh]

+) Xét tam giác IAE và Tam giác IAD có

AE = AD ( cmt)

Góc IAB = Góc IAC (cmt)

Chung AI

=> Tam giác IAE = tam giác IAD( c.g.c)

=> ID = IE ( cạnh tương ứng)

=> IM = IN ( cạnh tương ứng)

+) Xét tam giác MIE và tam giác NID có

MI =IN ( cmt)

Góc DIN = Góc MIE( t/c 2 góc đối đỉnh)

EI = ID (cmt)

=> Tam giác MIE = Tam giác DIN(c.g.c)

=> Góc IDN = góc IEM( góc tg ứng)

MÀ EM//BC( gt)=> Góc EMD = góc IDN ( vì là cặp góc sle trong)

=> góc EMD = góc IEM

=> Tam giác IME cân tại I ( DHNB)

=> IM =IE ( t/c)

MÀ IE =ID(cmt)

IM =IN

=> IM =IE=ID=IN => đpcm