Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{x^3+y^3}{2xy}+\frac{y^3+z^3}{2yz}+\frac{z^3+x^3}{2zx}\)
\(=\frac{x^3}{2xy}+\frac{y^3}{2xy}+\frac{y^3}{2yz}+\frac{z^3}{2yz}+\frac{z^3}{2zx}+\frac{x^3}{2zx}\)
\(=\frac{x^2}{2y}+\frac{y^2}{2x}+\frac{y^2}{2z}+\frac{z^2}{2y}+\frac{z^2}{2x}+\frac{x^2}{2z}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{x^2}{2y}+\frac{y^2}{2x}+\frac{y^2}{2z}+\frac{z^2}{2y}+\frac{z^2}{2x}+\frac{x^2}{2z}\ge\frac{\left[2\left(x+y+z\right)\right]^2}{4\left(x+y+z\right)}=\frac{4\left(x+y+z\right)^2}{4\left(x+y+z\right)}=x+y+z\)
Vậy bất đẳng thức ban đầu được chứng minh
Đẳng thức xảy ra <=> x = y = z
Sử dụng bđt phụ sau: với a, b là các số dương thì \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
Thật vậy ta có:
\(a^3+b^3-ab\left(a+b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)-ab\left(a+b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-2ab\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)( bđt luôn đúng với mọi \(a,b\ge0\))
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)
Áp dụng bđt phụ ta có: với x, y, z là các số dương thì:
\(\frac{x^3+y^3}{2xy}+\frac{y^3+z^3}{2yz}+\frac{z^3+x^3}{2zx}\ge\frac{xy\left(x+y\right)}{2xy}+\frac{yz\left(y+z\right)}{2yz}+\frac{zx\left(z+x\right)}{2zx}\)
\(=\frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{z+x}{2}=\frac{x+y+y+z+z+x}{2}=\frac{2\left(x+y+z\right)}{2}=x+y+z\)( đpcm )
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)
Giải giùm e bài này với ak
Chứng minh rằng nếu cos^2 A +cos ^2 B + cos^2 C = 1 thì tam giác ABC vuông
Bài 1:
\(\cos\alpha=\dfrac{4}{5}\)
\(\tan\alpha=\dfrac{3}{4}\)
\(\cot\alpha=\dfrac{4}{3}\)