Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) △FKA và △AMC có: \(\widehat{FAK}=\widehat{ACM}\) (AK//CM); \(\widehat{AFK}=\widehat{CAM}\) (KF//AM).
\(\Rightarrow\)△FKA∼△AMC (g-g).
b) AK//DM, KD//AM \(\Rightarrow\)AKDM là hình bình hành\(\Rightarrow AK=DM;AM=DK\)
\(\Rightarrow\dfrac{FK}{KD}=\dfrac{FK}{AM}\)
-△FKA∼△AMC \(\Rightarrow\dfrac{FK}{AM}=\dfrac{KA}{MC}\Rightarrow\dfrac{FK}{KD}=\dfrac{DM}{BM}\left(3\right)\).
-△ABM có: DE//AM \(\Rightarrow\dfrac{DM}{BM}=\dfrac{AE}{AB}\left(1\right)\)
-△BED có: AK//BD \(\Rightarrow\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{EK}{KD}\left(2\right)\)
-Từ (1) (2) (3) suy ra \(\dfrac{FK}{KD}=\dfrac{EK}{KD}\Rightarrow FK=EK\Rightarrow\)K là trung điểm EF.
c) Qua E và F kẻ đg thẳng song song với AK cắt AM tại G,H.
-AK//EG, KE//AG \(\Rightarrow\)AKEG là hình bình hành \(\Rightarrow KE=AG\).
-AK//FH, KF//AH \(\Rightarrow\)AKFH là hình bình hành \(\Rightarrow KF=AH\).
\(\Rightarrow AG=AH\).
-DE//GH, EG//DM \(\Rightarrow\)DEGM là hình bình hành \(\Rightarrow DE=GM\).
-DF//MH, FH//DM \(\Rightarrow\)DFHM là hình bình hành \(\Rightarrow DF=HM\).
-\(DE+DF=GM+HM=AM-AG+AM+AH=2AM\) không đổi.
Lời giải:
a) Áp dụng định lý Talet cho:
Tam giác $CFD$ có $AM\parallel FD$:
$\frac{DF}{AM}=\frac{CD}{CM}(1)$
Tam giác $ABM$ có $ED\parallel AM$:
$\frac{ED}{AM}=\frac{BD}{BM}(2)$
Lấy $(1)+(2)\Rightarrow \frac{DE+DF}{AM}=\frac{CD}{BC:2}+\frac{BD}{BC:2}=\frac{BC}{BC:2}=2$
$\Rightarrow DE+DF=2AM$
Vì $AM$ không đổi khi $D$ di động nên $DE+DF$ không đổi khi $D$ di động
b) Dễ thấy $KADM$ là hình bình hành do có các cặp cạnh đối song song. Do đó $KA=DM$
Áp dụng định lý Talet cho trường hợp $AK\parallel BD$:
$\frac{KE}{ED}=\frac{KA}{BD}=\frac{DM}{BD}(3)$
Lấy $(1):(2)$ suy ra $\frac{DF}{ED}=\frac{CD}{BD}$
$\Rightarrow \frac{EF}{ED}=\frac{CD}{BD}-1=\frac{CD-BD}{BD}=\frac{CM+DM-(BM-DM)}{BD}=\frac{2DM}{BD}(4)$
Từ $(3);(4)\Rightarrow \frac{2KE}{ED}=\frac{EF}{ED}$
$\Rightarrow 2KE=EF\Rightarrow FK=EK$ hay $K$ là trung điểm $EF$
