Question

[LuKenz]

Cho tam giác ABC nhọn, đường tròn đường kính BC cắt AB ở N và cắt AC ở M. Gọi H là giao
điểm của BM và CN.
1. Tính số đo các góc BMC và BNC.
2. Chứng minh AH vuông góc BC.
3. Chứng minh tiếp tuyến tại N đi qua trung điểm AH.

Answer 1

[Nguyễn Hoàng Minh]

\(1,\)Gọi I là tâm đường tròn đường kính BC thì I là trung điểm BC và \(MI=IN=BI=CI=\dfrac{1}{2}BC\) (bán kính cùng đường tròn)

\(\Rightarrow\Delta BNC\) vuông tại N và \(\Delta CMB\) vuông tại N

Vậy \(\widehat{BMC}=\widehat{BNC}=90\) độ

\(2,\)Ta có \(H=BM\cap CN\)

Mà BM, CN là đường cao tam giác ABC

Suy ra H là trực tâm

\(\Rightarrow AH\) là đường cao thứ 3

\(\Rightarrow AH\perp BC\)

\(3,\) Gọi giao điểm của tiếp tuyến tại N và AH là K, AH cắt BC tại E.

Ta có \(\widehat{KNH}+\widehat{INH}=90\)

Mà \(\widehat{INH}=\widehat{NCI}\left(NI=IC\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{KNH}+\widehat{NCI}=90\)

Mà \(\widehat{NCI}+\widehat{CHE}=90\)

\(\Rightarrow\widehat{KNH}=\widehat{CHE}\)

Mà \(\widehat{CHE}=\widehat{NHK}\left(đđ\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{KNH}=\widehat{NHK}\)

\(\Rightarrow\Delta NHK\) cân tại K\(\Rightarrow NK=KH\left(1\right)\)

Ta có \(\widehat{KNH}+\widehat{KNA}=90;\widehat{KHN}+\widehat{NAH}=90\)

\(\Rightarrow\widehat{ANK}=\widehat{NAK}\Rightarrow NK=AK\left(2\right)\)

\(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow NK=KH=AK\)

\(\Rightarrow\)Đfcm

Tick plzzz, nghĩ nát óc đó

Answer 2

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

1: Xét (O) có 

\(\widehat{BNC}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

nên \(\widehat{BNC}=90^0\)

Xét (O) có 

\(\widehat{BMC}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

nên \(\widehat{BMC}=90^0\)

2: Xét ΔABC có 

BM là đường cao ứng với cạnh AC

CN là đường cao ứng với cạnh AB

BM cắt CN tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

Suy ra: AH\(\perp\)BC