Question

[KCLH Kedokatoji]

Cho tam giác ABC. Gọi \(m_a\)là độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A, \(l_a\)là độ dài đường phân giác xuất phát từ đỉnh A.

Hãy chứng minh:

\(m_a=\sqrt{\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}}\)

\(l_a=\frac{2bc}{b+c}\)\(.\cos\frac{\widehat{A}}{2}\)

Answer 1

[Doge]

A) Lấy M là trung điểm của BC. => AM là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A (Đoạn thẳng AM được ký hiệu thay cho m a).

AB = c; AC = b; BC = a. Kẻ BH vuông góc với AM, CK vuông góc với AM.

Ta có: a^2 = BC^2 = (BM + MC)^2 = (2.BM)^2 = 4.BM^2 = 4.CM^2.

Theo định lý Pytago => c^2 = AB^2 = BH^2 + AH^2; BM^2 = BH^2 + HM^2.

=> 2.AB^2 - 2.BM^2 = 2(AH^2 - HM^2) = 2(AH + MH).(AH - MH) = 2.AM.(AH - MH). (1)

Theo định lý Pytago => b^2 = AC^2 = CK^2 + AK^2; CM^2 = CK^2 + MK^2.

=> 2.AC^2 - 2.CM^2 = 2(AK^2 - MK^2) = 2(AK - MK).(AK + MK) = 2.AM.(AK + MK). (2)

Từ  (1) + (2) => 2.AB^2 + 2.AC^2 - 2.BM^2 - 2.CM^2 = 2.AM(AH - MH) + 2.AM.(AK + MK).

=> 2.AB^2 + 2.AC^2 - 4.BM^2 = 2.AM.(AH - MH + AK + MK).

=> 2.AB^2 + 2.AC^2 - BC^2 = 2.AM.(2.AM).

=> 2.c^2 + 2.b^2 - a^2 = 4.AM^2.

Bạn thay phương trình 2.c^2 + 2.b^2 - a^2 = 4.AM^2 ở trên vào câu a để giải tiếp nhé. Mình chứng minh được gần hết rồi.

Answer 2

[Doge]

Lưu ý là BH song song với CK (cả hai cùng vuông góc với AM)

Nên theo định lý Talet, ta có: BM = CM. => HM = KM.

Vừa nãy mình quên ghi vào, bạn thêm vào hộ mình nhé.