Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} = \left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OD} } \right) + \left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OE} } \right) + \left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OF} } \right)\)
Qua M kẻ các đường thẳng \({M_1}{M_2}//AB;{M_3}{M_4}//AC;{M_5}{M_6}//BC\)
Từ đó ta có: \(\widehat {M{M_1}{M_6}} = \widehat {M{M_6}{M_1}} = \widehat {M{M_4}{M_2}} = \widehat {M{M_2}{M_4}} = \widehat {M{M_3}{M_5}} = \widehat {M{M_5}{M_3}} = 60^\circ \)
Suy ra các tam giác \(\Delta M{M_3}{M_5},\Delta M{M_1}{M_6},\Delta M{M_2}{M_4}\) đều
Áp dụng tính chất trung tuyến \(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\)(với M là trung điểm của BC) ta có:
\(\overrightarrow {ME} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{M_1}} + \overrightarrow {M{M_6}} } \right);\overrightarrow {MD} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{M_2}} + \overrightarrow {M{M_4}} } \right);\overrightarrow {MF} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{M_3}} + \overrightarrow {M{M_5}} } \right)\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{M_2}} + \overrightarrow {M{M_4}} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{M_1}} + \overrightarrow {M{M_6}} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{M_3}} + \overrightarrow {M{M_5}} } \right)\)
Ta có: các tứ giác \(A{M_3}M{M_1};C{M_4}M{M_6};B{M_2}M{M_5}\) là hình bình hành
Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có
\(\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{M_2}} + \overrightarrow {M{M_4}} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{M_1}} + \overrightarrow {M{M_6}} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{M_3}} + \overrightarrow {M{M_5}} } \right)\)
\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{M_1}} + \overrightarrow {M{M_3}} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{M_2}} + \overrightarrow {M{M_5}} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{M_4}} + \overrightarrow {M{M_6}} } \right)\)
\( = \frac{1}{2}\overrightarrow {MA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {MB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {MC} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right)\)
\( = \frac{1}{2}\left( {\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} } \right) + \left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OB} } \right) + \left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OC} } \right)} \right)\)
\( = \frac{1}{2}\left( {3\overrightarrow {MO} + \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right)} \right) = \frac{3}{2}\overrightarrow {MO} \) (đpcm)
Vậy \(\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} = \frac{3}{2}\overrightarrow {MO} \)
a) \( AH \bot BC\) và \(BH \bot CA\)
\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {BC} } \right) = {90^o} \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {BC} } \right) = 0\) . Do đó \(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow 0 \)
Tương tự suy ra \(\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {CA} = \overrightarrow 0 \).
b) Gọi H có tọa độ (x; y)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} = (x - ( - 1);y - 2) = (x + 1;y - 2)\\\overrightarrow {BH} = (x - 8;y - ( - 1)) = (x - 8;y + 1)\end{array} \right.\)
Ta có: \(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {BC} = (8 - 8;8 - ( - 1)) = (0;9)\)
\((x + 1).0 + (y - 2).9 = 0 \Leftrightarrow 9.(y - 2) = 0 \Leftrightarrow y = 2.\)
Lại có: \(\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {CA} = \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {CA} = ( - 1 - 8;2 - 8) = ( - 9; - 6)\)
\(\begin{array}{l}(x - 8).( - 9) + (y + 1).( - 6) = 0\\ \Leftrightarrow - 9x + 72 + 3.( - 6) = 0\\ \Leftrightarrow - 9x + 54 = 0\\ \Leftrightarrow x = 6.\end{array}\)
Vậy H có tọa độ (6; 2)
c) Ta có: \(\overrightarrow {AB} = (8 - ( - 1); - 1 - 2) = (9; - 3)\)\( \Rightarrow AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{9^2} + {{( - 3)}^2}} = 3\sqrt {10} \)
Và \(\overrightarrow {BC} = (0;9) \Rightarrow BC = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{0^2} + {9^2}} = 9\);
\(\overrightarrow {CA} = ( - 9; - 6)\)\( \Rightarrow AC = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| = \sqrt {{{( - 9)}^2} + {{( - 6)}^2}} = 3\sqrt {13} .\)
Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC, ta có:
\(\cos \widehat A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{{{\left( {3\sqrt {13} } \right)}^2} + {{\left( {3\sqrt {10} } \right)}^2} - {{\left( 9 \right)}^2}}}{{2.3\sqrt {13} .3\sqrt {10} }} \approx 0,614\)\( \Rightarrow \widehat A \approx 52,{125^o}\)
\(\cos \widehat B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} = \frac{{{{\left( 9 \right)}^2} + {{\left( {3\sqrt {10} } \right)}^2} - {{\left( {3\sqrt {13} } \right)}^2}}}{{2.9.3\sqrt {10} }} = \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\)\( \Rightarrow \widehat B \approx 71,{565^o}\)
\( \Rightarrow \widehat C \approx 56,{31^o}\)
Vậy tam giác ABC có: \(a = 9;b = 3\sqrt {13} ;c = 3\sqrt {10} \); \(\widehat A \approx 52,{125^o};\widehat B \approx 71,{565^o};\widehat C \approx 56,{31^o}.\)
Qua M kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác
A1B1 // AB; A2C2 // AC; B2C1 // BC.
Dễ thấy các tam giác MB1C2; MA1C1;MA2B2 đều là các tam giác đều. Ta lại có MD 
B1C2 nên MD cũng là trung điểm thuộc cạnh B1C2 của tam giác MB1C2
Ta có 2
= 
+ 
Tương tự: 2
= 
+ 
2
= 
+
=> 2( ++) = (+) + ( + ) + (+)
Tứ giác là hình bình hành nên
+ = 
Tương tự: + = 
+ = 
=> 2( ++) = ++
vì O là trọng tâm bất kì của tam giác và M là một điểm bất kì nên
++ = 3
.
Cuối cùng ta có:
2( ++) = 3;
=> ++ = 
