Question

[Hoàng Minh Nguyễn]

Cho tam giác ABC. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC. Trên tia đối của tia FB lấy điểm P sao cho PF=BF. Trên tia đối của tia EC lấy điểm Q sao cho QE=QC.

a) C/m: AP=AQ

c )C/m BQ//AC và CP//AB

d)Gọi R là giao điểm của 2 đường thẳng PC và QB. C/m rằng chu vi tam giác PQR bằng 2 lần chu vi tam giác ABC

e)Ba đường AR, BP, CQ đồng quy

Answer 1

[Sakura Công chúa Hoa Anh Đào]

xét tam giác AEQ và tam giác BEC có

         EQ=EC

         AEQ=BEC đối đỉnh

         EA=EB

=> tam giác AEQ = tam giác BEC(c.g.g).

=> AQ=BC(cạnh tuognư ứng). (1)

Xét Tam giác AFP và tam giác CFB có

      AF=CF

     AFP=CFB đối đỉnh

     FB=FP

=>. tam giác AFB = tam giác CFB(c.g.c)

=> AP = BC (2)

từ (1) và (2) suy ra AP=AQ.

b) xét tam giác BEQ và tam giác AEC có

     EQ=EC

     BEQ=AEC đối đỉnh

     EB=EA

=> tam giác BEQ = tam giác AEC(c.g.c)

=> BQE=AEC(góc tương ứng) mà chúng ở vị trí so le trong nên BQ//AC.

xét tam giác PFC và BFA có:

FA=FC

AFB=CFP

BF=PF

=. tam giác PFC = BFA (c.g.c)

=> FAB = FCB(góc tương ứng)

mà chúng ở vị trí so le trong nên

CP//AB

cho tớ 1 tick nhé! ^^ cảm ơn

Answer 2

[Sakura Công chúa Hoa Anh Đào]

vì Tam gáic AEQ = BEC nên QAE=CBE, mà chugns ở vị trí so le trong nên AQ//BC.

=> QAB=CBA

xét tam giác ABQ và tam giác ABC có

     QAB=CAB

     AB chung

    CAB=QBA( AC//BQ)

vậy chúng bằng nhau(g.c.g)

AQB=ACB

mà AQB=CBR(đồng vị) từ hai điều này suy ra ACB=RBC

vì tam giác AFB=CFB nên A=C mà chúng ở vị trí so le trong nên AP//BC=>PAC=BCA

Xét tam giác ABC và PCA có

     BAC=PCA(AB//PC)

     AC chung

     PAC=BCA(cmt)

vậy chúng bằng nhau theo truognừ hợp g.c.g

=>ABC=CPA

mà CPA=RCP( đồng vị) từ hai điều này suy ra ABC=RCB.

Xét tam giác ABC và RCB có 

AQB=CBR

BC chung

CPA=RCP

vậy chúng bằng nhau theo truognừ hợp g.c.g

=> AB=RC;AC=RB(cạnh tuognư ứng)

* Vì AQ//BC,AP//BC, theo tiên đề Ơ-clit => ba điểm Q,A,P thẳng hàng

vì BC = AQ = AP nên BC = 1/2 QP

* Vì AC = BQ(cmt)

      AC=BR(cmt)

nên AC = 1/2 QR

vì theo đề cho ba điểm Q,B,R đã thằng hàng nên không cần chứng minh. ba điểm P,C,R cũng vậy.

* Vì AB=CP(cmt)

      AB=RC(cmt)

nên AB= 1/2 RP

ta có chu vi tam giác PQR = PQ + QR + RP =   \(\frac{1}{2}BC+\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\left(AB+AC+BC\right)=\frac{1}{2}\)chu vi ABC điều phải chứng minh.

d) Xét tam giác  PQR có BQ=BR(cùng bằng AC)

                        CR=CP(cùng bằng AB)

                      AQ=AP(cmt) và Q,A,P thẳng hàng 

suy ra B,C và A lần lượt là trung điểm của QR, RP và PQ.

gọi giao điểm của QC và BP là H

tam giác PQR có QC, PB và RA là các đuognừ trung tuyến giao nhau tại H nên H là trọng tâm. Xong

vậy 3 đường này đồng quy