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\(\text{a) }\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GH}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{BG}=\frac{1}{3}\left(3\overrightarrow{AG}+3\overrightarrow{BG}\right)\\ =\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BB}\right)\\ =\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}\right)=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)\\ =\frac{1}{3}\left(2\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}\)
\(\text{b) }\overrightarrow{CH}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AH}=-\overrightarrow{AC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}\\ =-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}=-\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}\right)\)
\(\text{c) }\overrightarrow{MH}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CH}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}-\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}\right)\\ =\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)-\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}\right)\\ =-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}\\ =\frac{1}{6}\overrightarrow{AB}-\frac{5}{6}\overrightarrow{AB}\)
H đối xứng B qua G \(\Rightarrow\overrightarrow{BH}=2\overrightarrow{BG}=2\left(\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BA}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}\right)=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}\)
\(\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BH}=\overrightarrow{AB}-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)\)
\(=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}\)
\(\overrightarrow{CH}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AH}=-\overrightarrow{AC}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\)
\(\overrightarrow{MH}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AH}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}\)
\(=-\dfrac{5}{6}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{6}\overrightarrow{AC}\)
Lời giải:
Ta luôn có \(B,G,M,H\) thẳng hàng.
Vì $H$ đối xứng với $B$ qua $G$ nên $BG=GH$; mà theo tính chất trọng tâm tam giác thì \(GM=\frac{1}{2}BG\) \(\Rightarrow GM=\frac{1}{2}GH\). Do đó $M$ là trung điểm của $GH$
\(\Rightarrow \overrightarrow{MH}=\overrightarrow{GM}\) (1)
Ta có:
\(\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{GM}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AM}\\ \overrightarrow{GM}=\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CM}\end{matrix}\right.\Rightarrow 2\overrightarrow{GM}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GC}+(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CM})\)
Mà \(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CM}=0\) do $M$ là trung điểm $AC$
\(\Rightarrow 2\overrightarrow{GM}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AC}\)
\(\Leftrightarrow 2\overrightarrow{GM}=2(\overrightarrow {GB}+\overrightarrow{BA})+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AB}\)
Mà \(MG=\frac{1}{2}BG\) (cmt) do đó \(\overrightarrow{GM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BG}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{GB}\)
\(\Rightarrow 2\overrightarrow {GM}=-4\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AB}\)
\(\Leftrightarrow 6\overrightarrow{GM}=\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AB}\Leftrightarrow \overrightarrow{GM}=\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}\) (2)
Từ \((1),(2)\Rightarrow \overrightarrow{MH}=\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}\)