Question

[Dũng Lê Trí]

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn,AB<AC<BC.Các tia phân giác của \(\widehat{A}\)và \(\widehat{C}\)cắt nhau tại O.Gọi F và H lần lượt là hình chiếu của O trên BC và AC.Lấy I trên đoạn FC sao cho FI = AH. Gọi K là giao điểm của FH và AI.

a) C/m tam giác FCH cân và AK = KI

b) C/m B,O,K thẳng hàng

Answer 1

[zZz Cool Kid_new zZz]

a.

Dễ thấy \(\Delta COF=\Delta COH\left(ch-cgv\right)\Rightarrow CF=CH\Rightarrow\Delta CFH\) cân tại C.

\(\Rightarrow\widehat{CFH}=\widehat{CHF}\left(1\right)\)

Kẻ \(IG//AC\left(G\in FH\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{IGF}=\widehat{CHF}\left(2\right)\)

Từ (1);(2) \(\Rightarrow\Delta IGF\) cân tại I.\(\Rightarrow IG=FI\) mà \(FI=AH\Rightarrow GI=AH\)

Xét \(\Delta AHK\) và \(\Delta IGK\) có:

\(\widehat{HAI}=\widehat{AIG}\)

\(AH=IG\)

\(\widehat{AHG}=\widehat{HGI}\)

\(\Rightarrow\Delta AHK=\Delta IGK\left(g.c.g\right)\Rightarrow AK=KI\)

b.

Hạ \(OE\perp AB\left(E\in AB\right)\)

Do O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên khoảng cách từ O đến mỗi cạnh là bằng nhau.

\(\Rightarrow OE=OH=OF\)

Khi đó:

\(\Delta AOE=\Delta AOH\left(ch.cgv\right)\Rightarrow EA=HA\)

\(\Delta BOE=\Delta BOF\left(ch.cgv\right)\Rightarrow BE=BF\)

Ta có:

\(BA=BE+EA=BF+AH=BF+FI=BI\)

\(\Rightarrow\Delta ABI\) cân tại B.

Do \(KA=KI\Rightarrow BK\) trung tuyến mà BO là phân giác nên B,O,K thẳng hàng.