Question

[Pham Trong Bach]

Cho tam giác ABC có ∠ A   =   120 o  , phân giác AD. Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng BC không chứa A. Dựng tia Bx tạo với BC một góc ∠ C B x   =   60 o   và cắt AD ở E. Chứng minh rằng:

a) ΔADC và ΔBDE đồng dạng và A E . B D   =   A B . B E

b) ΔABD và ΔCED đồng dạng và ΔEBC đều

c )   B C . A E   =   A B . E C   +   A C . B E

d )   1 A D = 1 A B + 1 A C

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

a) Xét ΔADC ∼ ΔBDE có:

∠DBE = ∠CAD ( = 60o)

∠BDE = ∠CDA (đối đỉnh)

⇒ ΔADC ∼ ΔBDE (g.g)

Xét ΔEBD và ΔEAB có:

∠BEA chung;

∠EBD = ∠BAE = 60o

⇒ ΔEBD ∼ ΔEAB (g.g)

b) Ta có ΔADC ∼ ΔBDE (cmt)

Lại có ∠ADB = ∠EDC (đối đỉnh)

Do đó ΔADB ∼ ΔCDE (c.g.c)

⇒ ∠BCE = ∠BAD = 60o

Vậy ΔEBC đều (∠EBC = ∠BCE = 60o )

c) Vì AD là phân giác của ∠BAC (gt) ta có:

Từ (1) ta có AE.BD = BE.AB = EC.AB (vì EB = EC)

Hay EC.AB = AE.BD (3)

Công (2) và (3): AB.EC + AC.BE = AE(CD + BD) = AE.BC (đpcm)

d) Ta có: AE.BC = AB.EC + AC.BE

= AB.BC + AC.BC (vì BC = EC = BE)

= BC(AB + AC) ⇒ AE = AB + AC (*)

Mặt khác: Xét ΔADC và ΔABE có: ∠CAD = ∠BAE = 60o ; ∠ACD = ∠AEB (cmt)

⇒ ΔADC ∼ ΔABE (g.g)

Theo (*) ta có: