Question

[Nguyễn Anh Thư]

cho tam giác ABC cân tại A có góc a=40 độ lấy điểm D khác phía với B so với AC thoả mãn GÓC CAD=60 ĐỘ,GÓC ACD=80 ĐỘ CMR BD VUÔNG GÓC VỚI AC

Answer 1

[Kiệt Nguyễn]

Gọi K là giao điểm của AB và CD.

Trên tia AC lấy điểm F sao cho ^ABF = 100⁰

Ta có: ^ACD = 80⁰ nên ^ACK = 100⁰

Kết hợp với ^CAK = 40⁰ suy ra \(\Delta\)ACK cân tại C nên AC = KC (1)

Mặt khác: \(\Delta\)ABF cân tại B (do có ^ABF = 100⁰; ^BAF = 40⁰) nên AB = FB (2)

Mà AB = AC (gt) nên từ (1) và (2) suy ra KC = FB

Xét \(\Delta\)ACK và \(\Delta\)ABF có:

     AB = AC (gt)

    ^ACK = ^ABF (=100⁰)

    CK = BF (cmt)

Do đó \(\Delta\)ACK = \(\Delta\)ABF (c.g.c)

Suy ra AK = AF (hai cạnh tương ứng) (3)

Dễ tính được: ^KAD = 100⁰; ^AKD = 40⁰ nên \(\Delta\)AKD cân tại A suy ra AK = AD (4)

Từ (3) và (4) suy ra AF = AD

Kết hợp với ^FAD = 60⁰ suy ra \(\Delta\)AFD đều (5)

Suy ra AD = AF

Từ đó chứng minh được \(\Delta\)ADB = \(\Delta\)FBD (c.c.c)

Suy ra DB là phân giác của ^ADF (6)

Từ (5) và (6) suy ra DB cũng là đường cao ứng với cạnh AF của \(\Delta\)AFD 

​​Lúc đó BD vuông góc AF hay BD vuông góc AC (đpcm)

Answer 2

[Nguyễn Linh Chi]

Lấy điểm E thuộc CD sao cho AE = AC =>\(\Delta\)CAE cân tại C có: ^ACE = ^ACD = 80^o => ^AEC = ^ACE = 80^o (1)

=> ^CAE = 180^o  - 80^o -80^o = 20^o 

=>  ^BAE =^BAC + ^CAE = 40^o + 20^o  = 60^o (2)

Mặt khác \(\Delta\)BAE có: AB = AE ( = AC ) => \(\Delta\)BAE cân (3)

Từ (2); (3) => \(\Delta\)BAE đều =>^ ABE = ^BEA = 60^o (4)

Ta có: ^DAE = ^CAD - ^CAE = 60^o - 20^o = 40^o  

Mặt khác : ^ADE = 180^o - ^CAD - ^ACD = 180^o - 60^o - 80^o =40^o

=> \(\Delta\)AED cân tại E => AE = ED mà AE = BE  => ED = BE => \(\Delta\)BED cân tại E

Từ (1) => ^AED = 180^o  - ^AEC = 180^o - 80^o = 100^o

Từ (1); (4) => ^BED = ^BEA + ^AED = 60^o + 100^o = 160^o 

=> ^EBD = ^EDB = ( 180^o - 160^o ) : 2 = 10^o 

Gọi O là giao điểm của AC và BD có: ^OCD = ^ACD = 80^o và ^ODC = ^BDE = 10^o

=> ^COD =90^o 

=> AC vuông BD