Question

[Nguyen Hoang Dan]

Cho tam giaác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E, F là hình chiếu của H lên AB, AC. Chứng minh rằng:

a) AH³   = BC . HE . HF

b) AH³ = BC. BE . CF  

Answer 1

[Trần Tuấn Hoàng]

a) △ABH vuông tại H có: HE là đường cao.

\(\Rightarrow HE.AB=HB.HA\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông).

\(\Rightarrow AH=\dfrac{HE.AB}{HB}\left(1\right)\)

△ACH vuông tại H có: HF là đường cao.

\(\Rightarrow HF.AC=HA.HC\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông).

\(\Rightarrow AH=\dfrac{HF.AC}{HC}\left(2\right)\)

△ABC vuông tại A có: AH là đường cao.

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AH.BC=AB.AC\\AH^2=HB.HC\end{matrix}\right.\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông).

Từ (1), (2) suy ra:

\(AH^2=\dfrac{HE.AB.HF.AC}{HB.HC}=\dfrac{HE.HF.AH.BC}{AH^2}=\dfrac{HE.HF.BC}{AH}\Rightarrow AH^3=BC.HE.HF\)

b) △ABH vuông tại H có: HE là đường cao.

\(\Rightarrow BH^2=BE.AB\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông).

\(\Rightarrow BE=\dfrac{BH^2}{AB}\left(1\right)\)

△ACH vuông tại H có: HF là đường cao.

\(\Rightarrow CF.AC=CH^2\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông).

\(\Rightarrow CF=\dfrac{CH^2}{AC}\left(2\right)\)

Từ (1), (2) suy ra: \(BE.CF=\dfrac{BH^2.CH^2}{AB.AC}=\dfrac{\left(AH^2\right)^2}{AH.BC}=\dfrac{AH^3}{BC}\Rightarrow AH^3=BC.BE.CF\)