K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

31 tháng 8 2021

undefined

2 cái kìa còn lại làm tương tự rồi sau đó cộng lại với nhau sẽ ra 1 số tự nhiên nhé, dễ nên lười đánh nốt lắm :v

1 tháng 9 2021

cam ơn ah. kết quả bằng 3 ah.

\(\dfrac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}>=\sqrt{\dfrac{3}{xy}}\)

\(\dfrac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}>=\sqrt{\dfrac{3}{yz}}\)

\(\dfrac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{xz}>=\sqrt{\dfrac{3}{xz}}\)

=>\(VT>=\sqrt{3}\left(\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{xz}}\right)=3\sqrt{3}\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
28 tháng 2 2019

Lời giải:

Ta xét hiệu sau:

\(x^3+y^3-xy(x+y)=x^3-x^2y-(xy^2-y^3)\)

\(=x^2(x-y)-y^2(x-y)=(x^2-y^2)(x-y)=(x-y)^2(x+y)\geq 0, \forall x,y>0\)

\(\Rightarrow x^3+y^3\geq xy(x+y)(*)\)

\(\Rightarrow x^3+y^3+xy\geq xy(x+y+1)\)

\(\Rightarrow \frac{xy}{x^3+y^3+xy}\leq \frac{xy}{xy(x+y+1)}=\frac{1}{x+y+1}\)

Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế, suy ra:

\(\text{VT}\leq \underbrace{\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{x+z+1}}_{M}(1)\)

Vì $xyz=1$ nên tồn tại $a,b,c>0$ sao cho \((x,y,z)=(\frac{a^2}{bc}, \frac{b^2}{ac}, \frac{c^2}{ab})\)

Khi đó:

\(M=\frac{abc}{a^3+b^3+abc}+\frac{abc}{b^3+c^3+abc}+\frac{abc}{c^3+a^3+abc}\)

\(\leq \frac{abc}{ab(a+b)+abc}+\frac{abc}{bc(b+c)+abc}+\frac{abc}{ca(c+a)+abc}\) (áp dụng công thức $(*)$)

hay \(M\leq \frac{c}{a+b+c}+\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow \text{VT}\leq 1\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$ hay $x=y=z=1$

28 tháng 2 2019

Bài của chị Akai đoạn đầu hơi phức tạp(em nghĩ thế).

Ta có:

\(\left(x-y\right)^2\ge0\) với \(\forall x,y\)

\(\Rightarrow x^2+y^2-xy\ge0\) với \(\forall x,y\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\ge xy\left(x+y\right)\)với\(\forall x,y\)

\(\Rightarrow x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\) với \(\forall x,y\)

Rồi giải tiếp như chị ấy.

17 tháng 7 2021

Dòng cuối sao ra tử như v bạn

AH
Akai Haruma
Giáo viên
25 tháng 1 2018

Lời giải:

Ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\Leftrightarrow xy+yz+xz=xyz\)

\(\Rightarrow x^2+xy+yz+xz=x^2+xyz=x(x+yz)\)

\(\Leftrightarrow x+yz=\frac{x^2+xy+yz+xz}{x}=\frac{(x+y)(x+z)}{x}\)

\(\Rightarrow \sqrt{x+yz}=\sqrt{\frac{(x+y)(x+z)}{x}}\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:\((x+y)(x+z)\geq (x+\sqrt{yz})^2\)

\(\Rightarrow \sqrt{x+yz}=\sqrt{\frac{(x+y)(x+z)}{x}}\geq \frac{x+\sqrt{yz}}{\sqrt{x}}\)

Hoàn toàn tương tự:

\(\sqrt{y+xz}\geq \frac{y+\sqrt{xz}}{\sqrt{y}}\); \(\sqrt{z+xy}\geq \frac{z+\sqrt{xy}}{\sqrt{z}}\)

Cộng theo vế các BĐT đã thu được ta có:

\(\text{VT}\geq \frac{x+\sqrt{yz}}{\sqrt{x}}+\frac{y+\sqrt{xz}}{\sqrt{y}}+\frac{z+\sqrt{xy}}{\sqrt{z}}=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\frac{xy+yz+xz}{\sqrt{xyz}}\)

\(\Leftrightarrow \text{VT}\geq \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\frac{xyz}{\sqrt{xyz}}=\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\sqrt{xyz}=\text{VP}\)

Do đó ta có đpcm.

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=3\)

31 tháng 3 2018

lâu không tương tác xin 1 slot xem sao

2 tháng 4 2018

Dùng nesbit thì ra

7 tháng 12 2021

\(xy+yz+xz=xyz\Leftrightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1\)

\(đặt\left(\dfrac{1}{x};\dfrac{1}{y};\dfrac{1}{z}\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow a+b+c=1\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{x+4y+9z}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{a}+\dfrac{4}{b}+\dfrac{9}{c}}\le\dfrac{1}{\dfrac{\left(1+2+3\right)^2}{a+b+c}}=\dfrac{1}{36}\left(đpcm\right)\)