Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\Delta=4m^2+20m+25-8m-4=4m^2+12m+21=\left(2m+3\right)^2+12>0\)
với mọi m => pt có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2
theo Viet (điều kiện m > -1/2)
\(\left\{{}\begin{matrix}x1+x2=2m+5\\x1.x2=2m+1\end{matrix}\right.\)
\(p^2=x1-2\left|\sqrt{x1.x2}\right|+x2=2m+5-2\sqrt{2m+1}=\left(\sqrt{2m+1}-1\right)^2+3\ge3< =>p\ge\sqrt{3}\)
dấu bằng xảy ra khi \(\sqrt{2m+1}=1< =>m=0\left(tm\right)\)
|x1|=3|x2|
=>|2m+2-x2|=|3x2|
=>4x2=2m+2 hoặc -2x2=2m+2
=>x2=1/2m+1/2 hoặc x2=-m-1
Th1: x2=1/2m+1/2
=>x1=2m+2-1/2m-1/2=3/2m+3/2
x1*x2=m^2+2m
=>1/2(m+1)*3/2(m+1)=m^2+2m
=>3/4m^2+3/2m+3/4-m^2-2m=0
=>m=1 hoặc m=-3
TH2: x2=-m-1 và x1=2m+2+m+1=3m+3
x1x2=m^2+2m
=>-3m^2-6m-3-m^2-2m=0
=>m=-1/2; m=-3/2
x1+x2=2m-2
2x1-x2=2
=>3x1=2m và 2x1-x2=2
=>x1=2m/3 và x2=4m/3-2
x1*x2=-2m+1
=>8/9m^2-4/3m+2m-1=0
=>8/9m^2+2/3m-1=0
=>8m^2+6m-9=0
=>m=3/4 hoặc m=-3/2
\(x^2-2\left(m-1\right)x-2m+1=0\left(1\right)\)
Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì:
\(\Delta>0\Rightarrow\left[2\left(m-1\right)\right]^2-4\left(-2m+1\right)>0\)
\(\Leftrightarrow4\left(m-1\right)^2+8m-4>0\)
\(\Leftrightarrow4m^2-8m+4+8m-4>0\)
\(\Leftrightarrow4m^2>0\Leftrightarrow m\ne0\)
Vậy với \(\forall m\ne0\) thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
Theo định lí Viete cho phương trình (1) ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=-2m+1\end{matrix}\right.\)
Ta có \(2x_1-x_2=2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\left(x_1+x_2\right)-2=3x_2\left(1'\right)\\\left(x_1+x_2\right)+2=3x_1\left(2'\right)\end{matrix}\right.\)
Lấy (1') nhân cho (2') ta được:
\(\left[2\left(x_1+x_2\right)-2\right]\left[\left(x_1+x_2\right)+2\right]=9x_1x_2\)
\(\Rightarrow\left[2.2\left(m-1\right)-2\right]\left[2\left(m-1\right)+2\right]=9\left(-2m+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(4m-6\right).2m=-18m+9\)
\(\Leftrightarrow8m^2+6m-9=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{3}{4}\\m=\dfrac{-3}{2}\end{matrix}\right.\)
Thử lại ta có m=3/4 hay m=-3/2
\(\Delta'=m^2+1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1=m+1+\sqrt{m^2+1}\\x_2=m+1-\sqrt{m^2+1}\end{matrix}\right.\)
(Do \(m+1-\sqrt{m^2+1}< \sqrt{m^2+1}+1-\sqrt{m^2+1}< 4\) nên nó ko thể là nghiệm \(x_1\))
Từ điều kiện \(x_1\ge4\Rightarrow m+1+\sqrt{m^2+1}\ge4\Rightarrow\sqrt{m^2+1}\ge3-m\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ge3\\\left\{{}\begin{matrix}m< 3\\m^2+1\ge m^2-6m+9\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m\ge\dfrac{4}{3}\)
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=2m\end{matrix}\right.\)
\(x_1^2=9x_2+10\Leftrightarrow x_1\left(x_1+x_2\right)-x_1x_2=9x_2+10\)
\(\Leftrightarrow2\left(m+1\right)x_1-2m=9x_2+10\)
\(\Leftrightarrow2\left(m+1\right)x_1-2m=9\left(2\left(m+1\right)-x_1\right)+10\)
\(\Leftrightarrow\left(2m+11\right)x_1=20m+28\Rightarrow x_1=\dfrac{20m+28}{2m+11}\)
\(\Rightarrow x_2=2\left(m+1\right)-x_1=\dfrac{4m^2+6m-6}{2m+11}\)
Thế vào \(x_1x_2=2m\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{20m+28}{2m+11}\right)\left(\dfrac{4m^2+6m-6}{2m+11}\right)=2m\)
\(\Leftrightarrow\left(3m-4\right)\left(12m^2+40m+21\right)=0\)
\(\Leftrightarrow m=\dfrac{4}{3}\) (do \(12m^2+40m+21>0;\forall m\ge\dfrac{4}{3}\))
PT có 2 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow\Delta'=\left(m+1\right)^2+32>0\left(\text{đúng }\forall m\right)\)
Theo Vi-ét: \(\begin{cases} x_1+x_2=-2(m+1)=-2m-2\\ x_1x_2=-8 \end{cases}\)
Vì $x_1$ là nghiệm của PT nên \(x_1^2=-2(m+1)x_1+8\)
Ta có \(x_1^2=x_2\)
\(\Leftrightarrow-2\left(m+1\right)x_1+8=x_2\\ \Leftrightarrow x_2+2mx_1+2x_1-8=0\\ \Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)+2mx_1+x_1-8=0\\ \Leftrightarrow x_1\left(2m+1\right)-2m-10=0\\ \Leftrightarrow x_1=\dfrac{2m+10}{2m+1}\)
Mà \(x_1+x_2=-2m-2\Leftrightarrow x_2=-2m-2-\dfrac{2m+10}{2m+1}=\dfrac{-4m^2-8m-12}{2m+1}\)
Ta có \(x_1x_2=-8\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2m+10}{2m+1}\cdot\dfrac{-4m^2-8m-12}{2m+1}=-8\\ \Leftrightarrow\left(2m+10\right)\left(m^2+2m+3\right)=2\left(2m+1\right)^2\\ \Leftrightarrow m^3+3m^2+9m+14=0\\ \Leftrightarrow m^3+2m^2+m^2+2m+7m+14=0\\ \Leftrightarrow\left(m+2\right)\left(m^2+m+7\right)=0\\ \Rightarrow m=-2\)
Vậy $m=-2$
\(\Delta=1-4m>0\Rightarrow m< \dfrac{1}{4}\)
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=1\\x_1x_2=m\end{matrix}\right.\)
\(\left(x_1^2+x_2+m\right)\left(x_2^2+x_1+m\right)=m^2-m-1\)
\(\Leftrightarrow\left[x_1\left(x_1+x_2\right)-x_1x_2+x_2+m\right]\left[x_2\left(x_1+x_2\right)-x_1x_2+x_1+m\right]=m^2-m-1\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)\left(x_1+x_2\right)=m^2-m-1\)
\(\Leftrightarrow m^2-m-1=1\)
\(\Leftrightarrow m^2-m-2=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-1\\m=2>\dfrac{1}{4}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)
Δ=(2m-2)^2-4(-2m+1)
=4m^2-8m+4+8m-4=4m^2>=0
=>Phương trình luôn có hai nghiệm
\(P=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2-4x_1x_2\)
\(=\left(2m-2\right)^2-6\left(-2m+1\right)\)
\(=4m^2-8m+4+12m-6\)
=4m^2+4m-2
=4m^2+4m+1-3=(2m+1)^2-3>=-3
Dấu = xảy ra khi m=-1/2
\(\Delta'=\left(m-1\right)^2-\left(2m-3\right)=m^2-2m+1-2m+3=m^2-4m+4=\left(m-2\right)^2\ge0\forall m\)
Vậy pt luôn có 2 nghiệm x1;x2
Theo Vi et \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=2m-3\end{matrix}\right.\)
Ta có \(\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=2\)
Thay vào ta đc \(4\left(m-1\right)^2-4\left(2m-3\right)=2\Leftrightarrow4m^2-8m+4-8m+12=2\)
\(\Leftrightarrow4m^2-16m+14=0\Leftrightarrow m=\dfrac{4\pm\sqrt{2}}{2}\)