Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(a_n=1+\frac{2^n\left[1.3.5...\left(2n-1\right)\right]}{\left(n+5\right)\left(n+6\right)...\left(2n\right)}\)
\(=1+\frac{2^n\left(2n\right)!}{\left[2.4.6..\left(2n\right)\right]\left[\left(n+5\right)\left(n+6\right)..\left(2n\right)\right]}\)
\(=1+\frac{\left(2n\right)!}{n!\left(n+5\right)\left(n+6\right)...\left(2n\right)}\)
\(=1+\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)\)
mặt khác \(1+\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)=\left(n^2+5n+5\right)^2\)
do đó an luôn là SCP
n là số nguyên dương,\
G/s: n(n+1)(n+2) là số chính phương (1)
Ta luôn có: (n,n+1)=1 và (n+1, n+2)=1 (2)
+) TH1: n lẻ
khi đó: (n, n+2)=1 (3)
( chứng minh: đặt (n, n+2)=d => n , n+2 chia hế cho d=> 2 chia hết cho d và vì n lẻ=> n =1)
Từ (1), (2) , (3) ta có thể đặt: n=a^2, n+1=b^2, n+2=c^2 với a, b, c là số nguyên
=> b^2-a^2=1=> (b-a)(b+a)=1 => a=0 => n=0 loại
+) TH2: n chẵn
Đặt n=2k
=> 2k(2k+1)(2k+2)=4k(2k+1)(k+1) là số chính phương
=> k(2k+1)(k+1) là số chính phương
Tương tự thì chứng minh đc : (k, 2k+1)=1, (2k+1, k+1)=1 , (k+1, k)=1
=> Có thể đẳh k=a^2, k+1=b^2 tương tự như trên trường hợp nÀY CŨNG bị loại
a) ta có với n nguyên dương n2+n+1=n2+2n+1-n=(n+1)2-n
như vậy có n2<n2+n+1<n2+2n+1 hay n2<n2+n+1<(n+1)2
mà n2 và (n+1)2 là 2 số chính phương liên tiếp
=> n2+n+1 không là số chính phương với mọi n nguyên dương (đpcm)
+) Nếu n chẵn => n = 2k (k \(\in\) N) => 2n = 22k = 4k
=> 2n + 3 = 4k + 3 , chia cho 4 dư 3 => 2n + 3 không là số chính phương (Số chính phương chia cho 4 chỉ dư 0 hoặc 1)
+) Nếu n lẻ => n = 2k + 1 (k \(\in\) N* vì n > 1) => 2n + 3 = 22k+1 + 3 = 2.4k + 3 , chia cho 4 dư 3 => 2n + 3 không là số chính phương
Vậy Với mọi n > 1 thì 2n + 3 không là số chính phương