Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a/
\(x^3-2mx^2+2x^2-8x+8m-16=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^3+2x^2-8x-16\right)+m\left(-2x^2+8\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)\left(x^2-8\right)-2m\left(x-2\right)\left(x+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)\left[x^2-8-2m\left(x-2\right)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)\left(x^2-2mx+4m-8\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-2\\x^2-2mx+4m-8=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
Pt có 3 nghiệm pb khi và chỉ khi (1) có 2 nghiệm pb khác -2
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(-2\right)^2+4m+4m-8=0\\\Delta'=m^2-4m+8>0\end{matrix}\right.\) (luôn thỏa mãn)
Vậy pt có 3 nghiệm pb với mọi m
b/ Do vai trò của \(x_1;x_2;x_3\) hoàn toàn như nhau, ko mất tính tổng quát, giả sử \(x_1=-2\) và \(x_2;x_3\) là 2 nghiệm của (1)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2+x_3=2m\\x_2x_3=4m-8\end{matrix}\right.\) (2)
\(\left(-2\right)^2+\left(x_2+x_3\right)^2-2x_2x_3=5\left(-2+x_2+x_3\right)-4\) (3)
Thế (2) vào (3) là xong
a) △ = \(m^2-28\ge0\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ge\sqrt{28}\\m\le-\sqrt{28}\end{matrix}\right.\)
Theo Vi-ét \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-m\\x_1x_2=7\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1^2+x_2^2+2x_1x_2=m^2\\x_1x_2=7\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow m^2=24\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=\sqrt{24}\\m=-\sqrt{24}\end{matrix}\right.\)(không thỏa mãn)
b) △ = \(4-4\left(m+2\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow m\le-1\)
Theo Vi-ét \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\\x_1x_2=m+2\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1^2+x_2^2+2x_1x_2=4\\x_1x_2=m+2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x_2-x_1\right)^2+4x_1x_2=4\\x_1x_2=m+2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow4+4\left(m+2\right)=4\)\(\Leftrightarrow m=-2\)(thỏa mãn)
c) △ = \(\left(m-1\right)^2-4\left(m+6\right)\)\(\ge0\)\(\Leftrightarrow m^2-2m+1-4m-24\ge0\)
\(\Leftrightarrow m^2-6m-23\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(m-3\right)^2\ge32\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ge\sqrt{32}+3\\m\le-\sqrt{32}+3\end{matrix}\right.\)
Theo Vi-ét \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=1-m\\x_1x_2=m+6\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1^2+x_2^2+2x_1x_2=m^2-2m+1\\x_1x_2=m+6\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow10+2\left(m+6\right)=m^2-2m+1\)
\(\Leftrightarrow m^2-4m-21=0\)\(\Leftrightarrow\left(m+3\right)\left(m-7\right)=0\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=7\\m=-3\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow m=-3\)(thỏa mãn)
mấy câu kia cũng dùng Vi-ét xử tiếp nha
\(\Delta'=\left(m-1\right)^2-m+3=m^2-3m+4>0;\forall m\)
Pt luôn có 2 nghiệm pb thỏa \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=m-3\end{matrix}\right.\)
\(A=\sqrt{x_1^2+x_2^2}=\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2}\)
\(=\sqrt{4\left(m-1\right)^2-2\left(m-3\right)}\)
\(=\sqrt{4m^2-10m+10}=\sqrt{4\left(m-\frac{5}{4}\right)^2+\frac{15}{4}}\ge\sqrt{\frac{15}{4}}\)
\(A_{min}=\frac{\sqrt{15}}{2}\)
Chắc \(x_1^2+x_2^2+x_3^2\) mới đúng chứ? Thầy ghi sai đề à?
b.
Để pt đã cho có 3 nghiệm pb \(\Leftrightarrow\left(1\right)\) có 2 nghiệm pb khác 2
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=6-6m>0\\m\ne-5\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 1\\m\ne-5\end{matrix}\right.\)
Do vai trò của \(x_1;x_2;x_3\) hoàn toàn như nhau, ko mất tính tổng quát, giả sử \(x_3=2\) và \(x_1;x_2\) là 2 nghiệm của (1) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2\\x_1x_2=\frac{3m-1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(x_1^2+x_2^2+x_3^2=2x_1x_2x_3-3\left[x_1x_2+x_3\left(x_1+x_2\right)\right]-4\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+4=4x_1x_2-3\left(x_1x_2+2\left(x_1+x_2\right)\right)-4\)
\(\Leftrightarrow4-2\left(\frac{3m-1}{2}\right)+4=4\left(\frac{3m-1}{2}\right)-3\left(\frac{3m-1}{2}-4\right)-4\)
\(\Rightarrow m=\frac{1}{3}\)