Question

[Tú Tạ Hồng]

Cho (P) : y=x²+2 và đường thẳng d: mx+3 với m thuộc R. Giả sử đường d cắt (P) tại hai điểm A và B. Gọi S là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đường thẳng d và (P). Khi S nhỏ nhất thì giá trị biểu thức P=(x_A.y_A)²+(x_B.y_B) ² bằng bao nhiêu?

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Phương trình hoành độ giao điểm:

\(x^2+2=mx+3\Leftrightarrow x^2-mx-1=0\)

\(ac=-1< 0\Rightarrow\) d luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B có hoành độ trái dấu, giả sử A là điểm có hoành độ âm

Diện tích hình phẳng:

\(S=\int\limits^{x_B}_{x_A}\left(mx+3-x^2-2\right)dx=\frac{1}{2}mx_B^2+x_B-\frac{1}{3}x_B^3-\frac{1}{2}mx_A^2-x_A+\frac{1}{3}x_A^3\)

\(=\left(x_B-x_A\right)\left(\frac{1}{2}m\left(x_A+x_B\right)+1-\frac{1}{3}\left(\left(x_A+x_B\right)^2-x_Ax_B\right)\right)\)

\(=\left(x_B-x_A\right)\left(\frac{1}{2}m^2+1-\frac{1}{3}\left(m^2+1\right)\right)=\frac{1}{6}\left(m^2+4\right)\left(x_B-x_A\right)\)

\(=\frac{1}{6}\left(m^2+4\right)\sqrt{m^2+4}\ge\frac{4}{3}\)

\(\Rightarrow S_{min}\) khi \(m=0\Rightarrow x^2-1=0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_A=-1\Rightarrow y_A=3\\x_B=1\Rightarrow y_B=3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow P=18\)