Question

[buileanhtrung]

Cho (O;R)  có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau . Trên dây BC lấy điểm M (M khác B và C). Trên dây BD lấy điểm N sao cho \(\widehat{MAN}=\frac{1}{2}\widehat{CAD}\); AN cắt CD tại K. Từ M kẻ \(MH\perp AB\)\(\left(H\in AB\right)\).

a) CMR: tứ giác ACMH và tứ giác ACMK nội tiếp

b) Tia AM cắt (O) tại E (E khác A). Tiếp tuyến tại E và B của (O) cắt nhau tại F. CMR: AF đi qua trung điểm của HM

c) CMR: MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi M di chuyển trên dây BC (M khác B và C)

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

a) Ta có: Tứ giác ACBD nội tiếp (O;R) có 2 đường chéo là 2 đường kính vuông góc với nhau.

Nên tứ giác ACBD là hình vuông.

Xét tứ giác ACMH: ^ACM=^ACB=90⁰; ^AHM=90⁰

=> Tứ giác ACMH nội tiếp đường tròn

Do tứ giác ACBD là 1 hình vuông nên ^BCD=1/2.CAD=45⁰ 

=> ^BCD=^MAN hay ^MCK=^MAK => Tứ giác ACMK nội tiếp đường tròn.

b) Gọi giao điểm của tia AE với tia tiếp tuyến BF là I. AF gặp MH tại J.

Ta có: Điểm E nằm trên (O) có đg kính AB => ^AEB=90⁰

=> \(\Delta\)BEI vuông tại E. Dễ thấy \(\Delta\)BFE cân tại F => ^FEB=^FBE

Lại có: ^FEB+^FEI=90⁰ => ^FBE+^FEI=90⁰. Mà ^FBE+^FIE=90⁰

Nên ^FEI=^FIE => \(\Delta\)EFI cân tại F => EF=IF. Mà EF=BF => BF=IF

Theo hệ quả của ĐL Thales ta có: \(\frac{MJ}{IF}=\frac{HJ}{BF}=\frac{AJ}{AF}\)=> MJ=HJ (Do IF=BF)

=> J là trung điểm của HM  => Đpcm.

c) Trên tia đối của tia DB lấy T sao cho DT=CM.

Gọi P là hình chiếu của A xuống đoạn MN.

Dễ dàng c/m \(\Delta\)ACM=\(\Delta\)ADT (c.g.c) => ^CAM=^DAT và AM=AT

mà ^CAM phụ ^MAD => ^DAT+^MAD=90⁰ => ^MAT=90⁰

=> ^MAN=^TAN=1/2.^MAT=45⁰.=> \(\Delta\)MAN=\(\Delta\)TAN (c.g.c)

=> ^AMN=^ATN (2 góc tương ứng)  hay ^AMP=^ATD

=> \(\Delta\)APM=\(\Delta\)ADT (Cạnh huyền góc nhọn) => AD=AP (2 cạnh tương ứng).

Mà AD có độ dài không đổi (Vì AD=căn 2 . R) => AP không đổi.

Suy ra khoảng cách từ điểm A đến đoạn MN là không đổi

=> MN tiếp xúc với đường tròn tâm A cố định bán kính AD=căn 2.R.

Vậy...

Answer 2

[๖ۣۜмσи❄¢υтє✌ ²ƙ⁸(๖ۣۜTεαм❄๖ۣۜTαм❄๖ۣۜ...]

 ღ༺Nhật༒Tân✰ ²ƙ⁶༻ღ 

Sắp đến Tết rùi nè ae.Zui nhểy!Đứa nào đỗ nhớ khao tao nhá!

• Tên: ღ༺Nhật༒Tân✰ ²ƙ⁶༻ღ 
• Đang học tại: Trường THCS Lập Thạch
• Địa chỉ: Huyện Lập Thạch - Vĩnh Phúc
• Điểm hỏi đáp: 16SP, 0GP
• Điểm hỏi đáp tuần này: 1SP, 0GP
• Thống kê hỏi đáp