Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Gọi BE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là N. Gọi L là hình chiếu của I trên ME.
Dễ thấy ^BNA = 900. Suy ra \(\Delta\)BNA ~ \(\Delta\)BCE (g.g) => BN.BE = BC.BA
Cũng dễ có \(\Delta\)BMA ~ \(\Delta\)BCK (g.g) => BC.BA = BM.BK. Do đó BN.BE = BM.BK
Suy ra tứ giác KENM nội tiếp. Từ đây ta có biến đổi góc: ^KNA = 3600 - ^ANM - ^KNM
= (1800 - ^ANM) + (1800 - ^KNM) = ^ABM + (1800 - ^AEM) = ^EFM + ^MEF = ^KFA
=> 4 điểm A,K,N,F cùng thuộc một đường tròn. Nói cách khác, đường tròn (I) cắt (O) tại N khác A
=> OI vuông góc AN. Mà AN cũng vuông góc BE nên BE // OI (1)
Mặt khác dễ có E là trung điểm dây KF của (I) => IE vuông góc KF => IE // AB (2)
Từ (1);(2) suy ra BOIE là hình bình hành => IE = OB = const
Ta lại có EM,AB cố định => Góc hợp bởi EM và AB không đổi. Vì IE // AB nên ^IEL không đổi
=> Sin^IEL = const hay \(\frac{IL}{IE}=const\). Mà IE không đổi (cmt) nên IL cũng không đổi
Vậy I di động trên đường thẳng cố định song song với ME, cách ME một khoảng không đổi (đpcm).
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a) Xét (O) có
\(\widehat{AMB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
nên \(\widehat{AMB}=90^0\)(Hệ quả góc nội tiếp)
hay \(\widehat{FMB}=90^0\)
Xét tứ giác BCFM có
\(\widehat{FCB}\) và \(\widehat{FMB}\) là hai góc đối
\(\widehat{FCB}+\widehat{FMB}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)
Do đó: BCFM là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
1) Xét nửa đường tròn (O) đường kính BC có điểm N thuộc (O) => ^CNB = 900
=> ^CNE = 1800 - ^CNB = 900. Xét tứ giác CDNE có:
^CDE = ^CNE = 900 => Tứ giác CDNE nội tiếp đường tròn (đpcm).
2) Ta có điểm M thuộc nửa đường tròn (O) đường kính BC => ^CMB = 900
=> BM vuông góc CE. Xét \(\Delta\)BEC:
BM vuông góc CE; ED vuông góc BC; BM giao ED tại K => K là trực tâm \(\Delta\)BEC
=> CK vuông góc BE. Mà CN vuông góc BE (Do ^CNB = 900) => 3 điểm C;K;N thẳng hàng (đpcm).
3) Gọi giao điểm của MN với DE là H. Lấy F là trung điểm của EH. BH cắt CF tại điểm P.
Xét tứ giác CMHD: ^CMH = ^CDH = 900 => CMKD nội tiếp đường tròn => ^MCK = ^MDK (1)
Tương tự: ^NBK = ^NDK (2)
Từ (1) & (2) => ^MDK = ^NDK hay ^MDH = ^FDN
Tương tự: ^DMB = ^NMB => ^DMH = 2.^DMB (3)
Dễ thấy tứ giác BDME nội tiếp đường tròn => ^DMB = ^BED (2 góc nt chắn cung BD)
Hay ^DMB = ^NEF. Xét \(\Delta\)ENH vuông tại N: H là trung điểm EH
=> \(\Delta\)NEF cân tại F. Do ^DFN là góc ngoài \(\Delta\)NEF => ^DFN = 2.^NEF
Mà ^DMB = ^NEF (cmt) => ^DFN = 2.^DMB (4)
Từ (3) & (4) => ^DMH = ^DFN. Xét \(\Delta\)DMH và \(\Delta\)DFN:
^DMH = ^DFN ; ^MDH = ^FDN (cmt) => \(\Delta\)DMH ~ \(\Delta\)DFN (g.g)
=> \(\frac{DM}{DF}=\frac{DH}{DN}\)=> \(DH.DF=DM.DN\)(5)
Dễ chứng minh \(\Delta\)CMD ~ \(\Delta\)NBD => \(\frac{DM}{DB}=\frac{DC}{DN}\Rightarrow DM.DN=DB.DC\)(6)
Từ (5) & (6) => \(DH.DF=DB.DC\)\(\Rightarrow\frac{DH}{DB}=\frac{DC}{DF}\)
\(\Rightarrow\Delta\)CDH ~ \(\Delta\)FDB (c.g.c) => ^DHC = ^DBF. Mà ^DHC + ^DCH = 900
=> ^DBF + ^DCH = 900 => CH vuông góc BF.
Xét \(\Delta\)CFB: FD vuông góc BC; CH vuôn góc BF; H thuộc FD => H là trực tâm \(\Delta\)CFB
=> BH vuông góc CF (tại P). Ta có nửa đg trong (O) đg kính BC và có ^CPB = 900
=> P thuộc nửa đường tròn (O) => Tứ giác CMPB nội tiếp (O)
=> ^BMP = ^BCP (2 góc nt chắn cung BP) Hay ^HMP = ^DCP
Xét tứ giác CPHD: ^CPH = ^CDH = 900 => ^DCP + ^DHP = 1800
=> ^HMP + ^DHP = 1800 hay ^HMP + ^KHP = 1800 => Tứ giác MPHK nội tiếp đg tròn
=> ^KMH = ^KPH (2 góc nt chắn cung KH) hay ^KMN = ^KPB.
Lại có tứ giác EMKN nội tiếp đg tròn => ^KMN = ^KEN => ^KMN = ^KEB
=> ^KPB = ^KEB => Tứ giác BKPE nội tiếp đg tròn. Mà 3 điểm B;K;E cùng thuộc (I)
=> Điểm P cũng thuộc đg tròn (I) => IP=IB => I thuộc trung trực của BP
Mặt khác: OP=OB => O cũng thuộc trung trực của BP => OI là trung trực của BP
=> OI vuông góc BP. Mà CF vuông góc BP (cmt) => OI // CF (7)
I nằm trên trung trực của EK và F là trung điểm EK => IF vuông góc EK => IF vuông góc d
OC vuông góc d => OC // IF (8)
Từ (7) & (8) => Tứ giác COIF là hình bình hành => IF = OC = R (bk của (O))
=> Độ dài của IF không đổi. Mà IF là khoảng cách từ I đến d (Do IF vuông góc d)
=> I nằm trên đường thẳng d' // d và cách d một khoảng bằng bán kính của nửa đường tròn (O)
Vậy điểm I luôn nằm trên d' cố định song song với d và cách d 1 khoảng = bk nửa đg tròn (O) khi M thay đổi.
bn vẽ hình đc chưa
hình mình chưa vẽ đk