Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\dfrac{n}{12}+\dfrac{n^2}{8}+\dfrac{n^3}{24}\)
\(=\dfrac{n^3+3n^2+2n}{24}=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{24}\)
Ta có: \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3.
Vì \(n=2k\) nên suy ra n và (n + 2) là 2 số chẵn liên tiếp nên sẽ có 1 số chia hết cho 2, 1 số chia hết cho 4.
\(\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮8\)
Vì 3 và 8 nguyên tố cùng nhau nên: \(\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮24\)
Vậy ta có ĐPCM
Câu A:
Ta có:
\(A=\frac{n}{3}+\frac{n^2}{2}+\frac{n^3}{6}=\frac{2n}{6}+\frac{3n^2}{6}+\frac{n^3}{6}\)
\(=\frac{2n+3n^2+n^3}{6}\)
Xét tử : \(2n+3n^2+n^3=n(n^2+3n+2)=n(n^2+n+2n+2)\)
\(=n[n(n+1)+2(n+1)]=n(n+1)(n+2)\)
Vì \(n(n+1)(n+2)\) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên \(n(n+1)(n+2)\vdots 3\)
Vì $n(n+1)$ là tích của 2 số nguyên liên tiếp nên \(n(n+1)\vdots 2\)
\(\Rightarrow n(n+1)(n+2)\vdots 2\)
Mà \((2,3)=1\Rightarrow n(n+1)(n+2)\vdots (2.3=6)\)
Do đó: \(A=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}\in\mathbb{Z}\)
Ta có đpcm.
Câu B:
Ta có:
\(B=\frac{n^4}{24}+\frac{6n^3}{24}+\frac{11n^2}{24}+\frac{6n}{24}\)\(=\frac{n^4+6n^3+11n^2+6n}{24}\)
Xét mẫu:
\(n^4+6n^3+11n^2+6n=n(n^3+6n^2+11n+6)\)
\(=n[n^2(n+1)+5n(n+1)+6(n+1)]\)
\(=n(n+1)(n^2+5n+6)=n(n+1)[n^2+2n+3n+6]\)
\(=n(n+1)[n(n+2)+3(n+2)]\)
\(=n(n+1)(n+2)(n+3)\)
Vì $n(n+1)(n+2)$ là tích 3 số nguyên liên tiếp nên \(n(n+1)(n+2)\vdots 3\)
\(\Rightarrow n(n+1)(n+2)(n+3)\vdots 3\)
Vì $n,n+1,n+2,n+3$ là 4 số nguyên liên tiếp nên trong đó chắc chắn có một số chia $4$ dư $2$ , một số chia hết cho $4$
\(\Rightarrow n(n+1)(n+2)(n+3)\vdots (2.4=8)\)
Mà $(3,8)=1$ nên \(n(n+1)(n+2)(n+3)\vdots (8.3=24)\)
Do đó: \(B=\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{24}\in\mathbb{Z}\) (đpcm)
\(A=\dfrac{n^5}{120}+\dfrac{n^4}{12}+\dfrac{7n^3}{24}+\dfrac{5n^2}{12}+\dfrac{n}{5}\)
\(=\dfrac{n^5}{120}+\dfrac{10n^4}{120}+\dfrac{35n^3}{120}+\dfrac{50n^2}{120}+\dfrac{24n}{120}\)
\(=\dfrac{n^5+10n^4+35n^3+50n^2+24n}{120}\)
\(=\dfrac{n\left(n^4+10n^3+35n^2+50n+24\right)}{120}\)
\(=\dfrac{n\left(n^4+n^3+9n^3+9n^2+26n^2+26n+24n+24\right)}{120}\)
\(=\dfrac{n\left[n^3\left(n+1\right)+9n^2\left(n+1\right)+26n\left(n+1\right)+24\left(n+1\right)\right]}{120}\)
\(=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(n^3+9n^2+26n+24\right)}{120}\)
\(=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(n^3+2n^2+7n^2+14n+12n+24\right)}{120}\)
\(=\dfrac{n\left(n+1\right)\left[n^2\left(n+2\right)+7n\left(n+2\right)+12\left(n+2\right)\right]}{120}\)
\(=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n^2+7n+12\right)}{120}\)
\(=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n^2+3n+4n+12\right)}{120}\)
\(=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left[n\left(n+3\right)+4\left(n+3\right)\right]}{120}\)
\(=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)}{120}\)
Để A có giá trị nguyên thì \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)⋮120\)
Thật vậy, vì A là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp nên trong 5 số đó có 2 số chẵn liên tiếp (tích chia hết cho 8),1 số chia hết cho 3, 1 số chia hết cho 5
mà 8, 3, 5 đôi một nguyên tố cùng nhau nên \(A=x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+4\right)⋮8.3.5=120\)
Vậy A có giá trị nguyên với mọi n \(\in\) N.
`A=n/3+n^2/2+n^3/6`
`=(n^3+3n^2+2n)/6`
`=(n(n^2+3n+2))/6`
`=(n(n+1)(n+2))/6`
Vì `n(n+1)(n+2)` là tích 3 số nguyên liên tiếp
`=>n(n+1)(n+2) vdots 6`
`=>(n(n+1)(n+2))/6 in Z(forall x in Z)`
\(B=\frac{n^4}{24}+\frac{n^3}{4}+\frac{11n^2}{24}+\frac{n}{4}\)
\(B=\frac{n^4+6n^3+11n^2+6n}{24}\)
\(B=\frac{n^4+2n^3+4n^3+8n^2+3n^2+6n}{24}\)
\(B=\frac{n^3\left(n+2\right)+4n^2\left(n+2\right)+3n\left(n+2\right)}{24}\)
\(B=\frac{\left(n^3+n^2+3n^2+3n\right)\left(n+2\right)}{24}\)
\(B=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+3\right)\left(n+2\right)}{24}\)
Lập luận là ra
Ta có: \(\dfrac{1}{3^3}\) < \(\dfrac{1}{2.3.4}\)
\(\dfrac{1}{4^3}\) < \(\dfrac{1}{3.4.5}\)
.......
\(\dfrac{1}{n^3}\) < \(\dfrac{1}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}\)
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{1}{3^3}\) + \(\dfrac{1}{4^3}\) + ...+ \(\dfrac{1}{n^3}\) < \(\dfrac{1}{2.3.4}\)
+ \(\dfrac{1}{3.4.5}\) + ... + \(\dfrac{1}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}\) Có:\(\dfrac{1}{2.3.4}\)+ \(\dfrac{1}{3.4.5}\)+...+\(\dfrac{1}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}\) = \(\dfrac{1}{2}\)(\(\dfrac{1}{2.3}\) - \(\dfrac{1}{3.4}\)+ \(\dfrac{1}{3.4}\)- \(\dfrac{1}{4.5}\)+ ... +\(\dfrac{1}{n\left(n-1\right)}\)- \(\dfrac{1}{n}\) + \(\dfrac{1}{n}\) - \(\dfrac{1}{n\left(n+1\right)}\)) = \(\dfrac{1}{2}\)(\(\dfrac{1}{2.3}\) - \(\dfrac{1}{n\left(n+1\right)}\)) = \(\dfrac{1}{12}\)- \(\dfrac{1}{2n\left(n+1\right)}\) < \(\dfrac{1}{12}\) Vậy B = \(\dfrac{1}{3^3}\) + \(\dfrac{1}{4^3}\)+ \(\dfrac{1}{5^3}\)+ ... + \(\dfrac{1}{n^3}\) < \(\dfrac{1}{12}\) Chúc bn học tốt
\(H=\dfrac{1}{1+xy}+\dfrac{1}{1+yz}+\dfrac{1}{1+xz}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{3+xy+yz+xz}=\dfrac{9}{3+xy+yz+xz}\)
Mặt khác,theo AM-GM: \(xy+yz+xz\le x^2+y^2+z^2=3\)
\(\Rightarrow\dfrac{9}{3+xy+yz+xz}\ge\dfrac{9}{3+3}=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" khi: \(x=y=z=1\)
\(=\dfrac{n^3+3n^2+2n}{24}=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{24}\)
\(=\dfrac{2k\left(2k+1\right)\left(2k+2\right)}{24}=\dfrac{4k\left(2k+1\right)\left(k+1\right)}{24}\)
\(=\dfrac{4k\left(k+1\right)\left(k+2+k-1\right)}{24}\)
\(=\dfrac{4k\left(k+1\right)\left(k+2\right)+4k\left(k+1\right)\left(k-1\right)}{24}=\dfrac{k\left(k+1\right)\left(k+2\right)+k\left(k+1\right)\left(k-1\right)}{6}\)
Vì k;k+1;k+2 là ba số liên tiếp
nen k(k+1)(k+2) chia hết cho 3!=6
k;k+1;k-1 là ba số liên tiếp
nên k(k+1)(k-1) chia hết cho 3!=6
=>A chia hêt cho 6