Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
B1 :
Áp dụng bđt cosi ta có : a^2/b+c + b+c/4 >= \(2\sqrt{\frac{a^2}{b+c}.\frac{b+c}{4}}\) = 2. a/2 = a
Tương tự b^2/c+a + c+a/4 >= b
c^2/a+b + a+b/4 >= c
=> VT + a+b+c/2 >= a+b+c
=> VT >= a+b+c/2 = VP
=> ĐPCM
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c > 0
k mk nha
2a)với a,b,c là các số thực ta có
\(a^2-ab+b^2=\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2\ge\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{a^2-ab+b^2}\ge\sqrt{\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2}=\frac{1}{2}\left|a+b\right|\)
tương tự \(\sqrt{b^2-bc+c^2}\ge\frac{1}{2}\left|b+c\right|\)
tương tự \(\sqrt{c^2-ca+a^2}\ge\frac{1}{2}\left|a+c\right|\)
cộng từng vế mỗi BĐT ta được \(\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{2}=a+b+c\)
dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
Đề đúng: Cho a,b,c thỏa mãn a+b+c>0; ab+bc+ac>0; abc>0. Chứng minh a,b,c>0
Vì abc>0 nên có ít nhất 1 số lớn hơn 0
Vai trò của a, b, c như nhau nên chọn a>0
TH1: b<0;c<0
\(\Rightarrow b+c>-a\Rightarrow\left(b+c\right)^2< -a\left(b+c\right)\)
\(\Rightarrow b^2+2bc+c^2< -ab-ac\)
\(\Rightarrow b^2+bc+c^2< -\left(ab+bc+ca\right)\)(vô lí)
TH2: b>0, c>0 thì a>0( luôn đúng)
Vậy a, b, c >0
\(\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{\left(a-b\right)^2}=\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{a^2+b^2-2ab}=\frac{x^2}{x-2}\) với \(x=a^2+b^2\)
Xét \(x^2-8\left(x-2\right)=x^2-8x+16=\left(x-4\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow x^2\ge8\left(x-2\right)\Leftrightarrow\frac{x^2}{x-2}\ge8\)hay \(\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{\left(a^2+b^2-2ab\right)}\ge8\Leftrightarrow\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{\left(a-b\right)^2}\ge8\Rightarrow\frac{a^2+b^2}{a-b}\ge2\sqrt{2}\)
Giai
TS + 2 và - 2/(a-b)
SD BĐT Cô si => đpcm
"=" a = (\(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}\)) ; b = \(\frac{\sqrt{3}\text{-}1}{\sqrt{2}}\) và ngược lại
Xét: \(\dfrac{a+1}{b^2+1}+\dfrac{b+1}{c^2+1}+\dfrac{c+1}{a^2+1}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{b^2+1}+\dfrac{b}{c^2+1}+\dfrac{c}{a^2+1}+\dfrac{1}{a^2+1}+\dfrac{1}{b^2+1}+\dfrac{1}{c^2+1}\)
\(\Leftrightarrow a-\dfrac{ab^2}{b^2+1}+b-\dfrac{bc^2}{c^2+1}+c-\dfrac{ca^2}{a^2+1}+1-\dfrac{a^2}{a^2+1}+1-\dfrac{b^2}{b^2+1}+1-\dfrac{c^2}{c^2+1}\)
\(\Leftrightarrow3-\left(\dfrac{ab^2}{b^2+1}+\dfrac{bc^2}{c^2+1}+\dfrac{ca^2}{a^2+1}\right)+3-\left(\dfrac{a^2}{a^2+1}+\dfrac{b^2}{b^2+1}+\dfrac{c^2}{c^2+1}\right)\)
Xét \(3-\left(\dfrac{ab^2}{b^2+1}+\dfrac{bc^2}{c^2+1}+\dfrac{ca^2}{a^2+1}\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 bộ số thực không âm
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{ab^2}{b^2+1}\le\dfrac{ab^2}{2b}=\dfrac{ab}{2}\\\dfrac{bc^2}{c^2+1}\le\dfrac{bc^2}{2c}=\dfrac{bc}{2}\\\dfrac{ca^2}{a^2+1}\le\dfrac{ca^2}{2a}=\dfrac{ca}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{ab^2}{b^2+1}+\dfrac{bc^2}{c^2+1}+\dfrac{ca^2}{a^2+1}\le\dfrac{ab+bc+ca}{2}\)
\(\Rightarrow3-\left(\dfrac{ab^2}{b^2+1}+\dfrac{bc^2}{c^2+1}+\dfrac{ca^2}{a^2+1}\right)\ge3-\dfrac{ab+bc+ca}{2}\) ( 1 )
Theo hệ quả của bất đẳng thức Cauchy ta có
\(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{3}{2}\le3-\dfrac{ab+bc+ca}{2}\) ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 )
\(\Rightarrow3-\left(\dfrac{ab^2}{b^2+1}+\dfrac{bc^2}{c^2+1}+\dfrac{ca^2}{a^2+1}\right)\ge\dfrac{3}{2}\) ( 3 )
Xét \(3-\left(\dfrac{a^2}{a^2+1}+\dfrac{b^2}{b^2+1}+\dfrac{c^2}{c^2+1}\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 bộ số thực không âm
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a^2}{a^2+1}\le\dfrac{a^2}{2a}=\dfrac{a}{2}\\\dfrac{b^2}{b^2+1}\le\dfrac{b^2}{2b}=\dfrac{b}{2}\\\dfrac{c^2}{c^2+1}\le\dfrac{c^2}{2c}=\dfrac{c}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^2}{a^2+1}+\dfrac{b^2}{b^2+1}+\dfrac{c^2}{c^2+1}\le\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{3}{2}\)
\(\Rightarrow3-\left(\dfrac{a^2}{a^2+1}+\dfrac{b^2}{b^2+1}+\dfrac{c^2}{c^2+1}\right)\ge3-\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{2}\) ( 4 )
Từ ( 3 ) và ( 4 ) cộng theo từng vế
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}=3\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a+1}{b^2+1}+\dfrac{b+1}{c^2+1}+\dfrac{c+1}{a^2+1}\ge3\)
\(\Rightarrow\) ( đpcm )
nếu b > a+c
<=> \(b^2>\left(a+c\right)^2\\
\Leftrightarrow b^2-4ac>a^2+2ac+c^2-4ac\\
\Leftrightarrow\Delta>\left(a-c\right)^2\ge0\)
=> đpcm
Ta đi chứng minh BĐT : \(a^2+b^2+c^2\ge2\left(bc+ac-ab\right)\)
\(\Leftrightarrow\) \(a^2+b^2+c^2+2ab-2bc-2ac\ge0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(a+b-c\right)^2\ge0\) luôn đúng.
\(\Rightarrow2\left(bc+ac-ab\right)\le\dfrac{5}{3}\)
\(\Leftrightarrow bc+ac-ab\le\dfrac{5}{6}< 1\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}< \dfrac{1}{abc}\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)(1+1)\geq \left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^2\)
\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)(a+b)\geq (1+1)^2\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}\)
Do đó:
\(2(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2})\geq (\frac{4}{a+b})^2\)
\(\Leftrightarrow 4\geq (\frac{4}{a+b})^2\)
\(\Rightarrow 2\geq \frac{4}{a+b}(\forall a,b>0)\Rightarrow 2(a+b)\geq 4\Rightarrow a+b\geq 2\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=1$
Ta có \(M=\dfrac{a^2}{a+b}+\dfrac{b^2}{a+b}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2\left(a+b\right)}\)(BĐT Schwarz)
\(=\dfrac{a+b}{2}=1\)
"=" <=> a = b = 1 (không thỏa mãn điều kiện)
=> "=" không xảy ra => M > 1(ĐPCM)