Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
BĐT cần chứng minh tương đương:
\(x^3+y^3+z^3+6xyz\ge\frac{\left(x+y+z\right)^3}{4}\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3+6xyz\ge x^2y+y^2z+z^2x+xy^2+yz^2+zx^2\)
Mặt khác theo BĐT Schur thì:
\(\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3+3xyz\ge x^2y+y^2z+z^2x+xy^2+yz^2+zx^2\).
Do đó điều trên luôn đúng. BĐT dc chứng minh.
Đề bài sai, phản ví dụ: \(x=y=\dfrac{1}{16};z=256\)
Nói chung, chỉ cần 2 biến đủ nhỏ là BĐT này đều sai
Đặt vế trái là P
Ta có: \(P\le x^2y+y^2z+z^2x+xyz\)
Không mất tính tổng quát, giả sử \(x=mid\left\{x;y;z\right\}\Rightarrow\left(x-y\right)\left(x-z\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow x^2+yz\le xy+xz\)
\(\Rightarrow x^2y+y^2z\le xy^2+xyz\)
\(\Rightarrow P\le xy^2+z^2x+2xyz=x\left(y^2+z^2+2yz\right)=x\left(y+z\right)^2\)
\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2}.2x\left(y+z\right)\left(y+z\right)\le\frac{1}{2}\left(\frac{2x+y+z+y+z}{3}\right)^3=\frac{4}{27}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(\frac{1}{3};0;\frac{2}{3}\right)\)
Do \(\left\{{}\begin{matrix}x;y;z\ge0\\x+y+z=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow0\le x;y;z\le1\)
\(\Rightarrow xy+yz+zx-2xyz=xy\left(1-z\right)+yz\left(1-x\right)+zx\ge0\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;1\right)\) và hoán vị
Mặt khác do vai trò của x;y;z là hoàn toàn như nhau, ko mất tính tổng quát, giả sử \(x=min\left\{x;y;z\right\}\Rightarrow1=x+y+z\ge3x\Rightarrow0\le x\le\frac{1}{3}\)
\(P=x\left(y+z\right)+yz\left(1-2x\right)=x\left(1-x\right)+yz\left(1-2x\right)\)
\(P\le x\left(1-x\right)+\frac{1}{4}\left(y+z\right)^2\left(1-2x\right)=x\left(1-x\right)+\frac{1}{4}\left(1-x\right)^2\left(1-2x\right)\)
\(P\le\frac{-2x^3+x^2+1}{4}=\frac{-2x^3+x^2+1}{4}-\frac{7}{27}+\frac{7}{27}\)
\(P\le-\frac{\left(1-3x\right)^2\left(6x+1\right)}{108}+\frac{7}{27}\le\frac{7}{27}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)=y^3+1\\\left(y+1\right)\left(y^2+1\right)=z^3+1\\\left(z+1\right)\left(z^2+1\right)=x^3+1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^3+x^2+x=y^3\left(1\right)\\y^3+y^2+y=z^3\\z^3+z^2+z=x^3\end{matrix}\right.\)
Giả sử \(x>y\Rightarrow x^3+x^2+x>y^3+y^2+y\)
\(\Rightarrow y^3>z^3\Leftrightarrow y>z\left(2\right)\)
\(\Rightarrow y^3+y^2+y>z^3+z^2+z\Rightarrow z>x\left(3\right)\)
Từ \(\left(2\right);\left(3\right)\Rightarrow y>x\) (Vô lí)
Giả sử \(x< y\Rightarrow x^3+x^2+x< y^3+y^2+y\)
\(\Rightarrow y^3< z^3\Leftrightarrow y< z\left(4\right)\)
\(\Rightarrow y^3+y^2+y< z^3+z^2+z\Rightarrow z< x\left(5\right)\)
Từ \(\left(4\right);\left(5\right)\Rightarrow y< x\) (Vô lí)
\(\Rightarrow x=y=z\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow x^3+x^2+x=x^3\)
\(\Leftrightarrow x\left(x+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x=y=z=0\) hoặc \(x=y=z=-1\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=p=3\\xy+yz+zx=q\\xyz=r\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow q\le\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2=3\Rightarrow0\le q\le3\)
Theo BĐT Schur: \(r\ge\frac{p\left(4q-p^2\right)}{9}=\frac{4q-9}{3}\)
\(VT=p^2-2q+r=9-2q+r\ge9-2q+\frac{4q-9}{3}=4+\frac{2\left(3-q\right)}{3}\ge4\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
có cách nào ko dùng bđt ko vậy ?