Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{c}\)
với \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}=\overrightarrow{c}.\overrightarrow{a}=0\)
và \(\left|\overrightarrow{a}\right|=a,\overrightarrow{\left|b\right|}=a\sqrt{2},\left|\overrightarrow{c}\right|=a\sqrt{3}\)
khi đó
\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c,}\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\)
Giả sử đường vuông góc chung cắt \(\overrightarrow{AB}\) tại M và cắt \(\overrightarrow{BC'}\) tại N và \(\overrightarrow{AM}=x.\overrightarrow{AB'}=x.\overrightarrow{a}+x.\overrightarrow{c},\overrightarrow{BN}=y.\overrightarrow{BC'}=-y.\overrightarrow{a}+y.\overrightarrow{b}+y.\overrightarrow{c}\)
Suy ra \(\overrightarrow{AN}=\left(1-y\right)\overrightarrow{a}+y.\overrightarrow{b}+y.\overrightarrow{c}\)
Và do đó
\(\overrightarrow{MN}=\left(1-x-y\right)\overrightarrow{a}+y.\overrightarrow{b}+\left(y-x\right)\overrightarrow{c}\)
Ta có :
\(MN\perp AB',BC'\Leftrightarrow\begin{cases}\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{AB}=0\\\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{BC'}=0\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}-4x+2y+1=0\\-2x+6y-1=0\end{cases}\)
Giải hệ ta thu được \(x=\frac{2}{5},y=\frac{3}{10}\)
Từ đó :
\(MN^2=\left[\left(1-x-y\right)^2+2y^2+3\left(y-x\right)^2\right].a^2=\frac{39^a}{100}\)
Suy ra \(d\left(AB';BC'\right)=\frac{a\sqrt{39}}{10}\)
\(\Delta ABC\) đều \(\Rightarrow AM\perp BC\) (1)
Mà \(SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp BC\) (2)
(1);(2) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAM\right)\)
b/ \(BC\perp\left(SAM\right)\) mà BC là giao tuyến của (SBC) và (ABC)
\(\Rightarrow\widehat{SMA}\) là góc giữa (SBC) và (ABC)
\(AM=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow tan\widehat{SMA}=\frac{SA}{AM}=2\)
\(\Rightarrow\widehat{SMA}\approx63^026'\)
c/ Từ A kẻ \(AH\perp SM\Rightarrow AH\perp\left(SBC\right)\Rightarrow AH=d\left(A;\left(SBC\right)\right)\)
\(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{SA^2}\Rightarrow AH=\frac{AM.SA}{\sqrt{AM^2+SA^2}}=\frac{a\sqrt{15}}{5}\)