Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có OO' là đường nối tâm của (O) và (O') nên OO' là đường trung trực của AB.
Suy ra IE ⊥ AB và EA = EB
Ta lại có IA = IK (do K là điểm đối xứng của A qua I).
Nên IE là đường trung bình của tam giác AKB.
Suy ra IE // KB
Mà IE ⊥ AB
Suy ra KB ⊥ AB (đpcm)
Xét $(O)$ có: $BC$ là dây cung
$I$ là trung điểm $BC$
$⇒OI ⊥BC$ (tính chất)
Xét $(O)$ có: $AM;AN$ là các tiếp tuyến của đường tròn
$⇒AM⊥OM;AN⊥ON;AM=AN$
Xét tứ giác $AMON$ có:
$\widehat{AMO}=\widehat{ANO}=90^o$
$⇒\widehat{AMO}+\widehat{ANO}=180^o$
$⇒$ Tứ giác $AMON$ nội tiếp (tổng 2 góc đối $=180^o$)
$⇒$ 4 điểm $A;M;O;N$ thuộc 1 đường tròn(1)
Lại có: $\widehat{AIO}=\widehat{ANO}=90^o$
$⇒\widehat{AIO}+\widehat{ANO}=180^o$
$⇒$ Tứ giác $AION$ nội tiếp (Tổng 2 góc đối $=180^o$)
hay 4 điểm $A;I;O;N$ thuộc 1 đường tròn (2)
Từ $(1)(2)⇒$ 5 điểm $A;I;O;M;N$ thuộc 1 đường tròn (đpcm)
b, $K$ sẽ là giao điểm của $MN$ và $AC$
5 điểm $A;I;O;M;N$ thuộc 1 đường tròn
$⇒$ Tứ giác $AMIN$ nội tiếp
$⇒\widehat{AIM}=\widehat{ANM}$ (các góc nội tiếp cùng chắn cung $AM$)
Ta có: $AM=AN⇒\triangle AMN$ cân tại $A$
$⇒\widehat{AMN}=\widehat{ANM}$
$⇒\widehat{AIM}=\widehat{AMN}$
hay $\widehat{AIM}=\widehat{AMK}$
Xét $\triangle AIM$ và $\triangle AMK$ có:
$\widehat{AIM}=\widehat{AMK}$
$\widehat{A}$ chung
$⇒\triangle AIM \backsim \triangle AMK(c.g.c)$
$⇒\dfrac{AI}{AM}=\widehat{AM}{AK}$
$ ⇒AK.AI=AM^2(3)$
Xét $(O)$ có: $\widehat{AMB}=\widehat{ACM}$ (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung $MB$)
Xét $\triangle AMB$ và $\triangle ACM$ có:
$\widehat{AMB}=\widehat{ACM}$
$\widehat{A}$ chung
$⇒\triangle AMB \backsim \triangle ACM(g.g)$
$⇒\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AB}{AM}$
Hay $AB.AC=AM^2(4)$
Từ $(3)(4)⇒AK.AI=AB.AC(đpcm)$
Gọi I là giao điểm của MN và AC.
Ta có: \(\widehat{IHO}=\widehat{OEI}=90°\)
\(\Rightarrow\)Tứ giác EIHO nội tiếp đường tròn.
\(\Rightarrow\)Tâm của đường tròn ngoại tiếp ∆OHE nằm trên đường trung trực của EI.(*)
Ta có ∆AIH \(\approx\)∆AOE
\(\Rightarrow\)AH.AO = AE.AI (1)
Ta có: ∆AMB \(\approx\)AOM
\(\Rightarrow\)AM2 = AH.AO (2)
Ta lại có: ∆ABM \(\approx\)∆AMC
\(\Rightarrow\)AM2 = AB.AC (3)
Từ (1), (2), (3) \(\Rightarrow\)AE.AI = AB.AC
Vì A,B,C,E cố định nên I cố định (**)
Từ (*), (**) suy ta tâm đường tròn ngoại tiếp ∆OHE nằm trên đường trung trực của EI.
PS: không chứng minh được nó nằm trên đường tròn nha b. Hình tự vẽ.
Tam giác AMB nội tiếp trong đường tròn (I) có AB là đường kính nên
Suy ra: AM ⊥ BM hay BM ⊥ AN
Suy ra: AM = MN (đường kính vuông góc dây cung).