Question

[Phạm Thanh Uyển Nhi]

cho hình chữ nhất ABCD . gọi H là hình chiếu của B trên AC . M,K lần lượt là trung điểm cuả AH và CD. chứng minh BM vuông MK

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

Gọi N là trung điểm của BH.

HK là đường trung bình của tam giác ADC => HK=AD/2 (1)

MN là đường trung bình của tam giác AHB =>  MN=AB/2 (2)

Mà tứ giác ABCD là HCN => AB=AD=BC=CD (3)

Từ (1); (2) và (3) => HK=MN.

Ta có: Tam giác MHN vuông cân tại H = >HM=HN => HM=NB.

Xét tam giác MNB = Tam giác KHM  (c.g.c)

=> ^MBN=^KMH (2 góc tương ứng).

Lại có: ^NMB+^MBN=45⁰ => ^NMB+^KMH=45⁰.

Mà ^HMN=45⁰ => ^NMB+^KMH+^HMN=90⁰ <=> ^KMB=90⁰

=> BM vuông MK *đpcm*

Answer 2

[๖Fly༉Donutღღ]

Tự vẽ hình nha :)

Gọi N là trung điểm của BH suy ra MN là đường trung bình của t/g ABH

Ta có : MN // AB và MN = 1/2 AB

Mà CK // AB và CK = 1/2 CD = 1/2 AB suy ra CK = MN

Nên MNCK là hình bình hành

Suy ra CK // MN   ( 1 )

Vì MN // AB , AB vuông góc với BC nên MN vuông góc với BC

Suy ra N là trực tâm của tam giác BCM ; CN vuông góc với BM  ( 2 )

Từ ( 1 ) ; ( 2 ) suy ra MK vuông góc với BM hay BM vuông góc với MK ( đpcm )