Question

[bùi huyền trang]

cho hình bình hành ABCD gọi EF thứ tự tại trung điểm Của AB và CD, M là giao điểm của AF, DE, N là giao điểm của BF và CE. CMR:

a) DE=BF

b)tứ giác EMFN là hình bình hành

c) các đường thẳng AC, FE, MN đồng quy

d) gọi I, K lần lượt là giao điểm của AF và CE với BD. CMR: BK = KI = ID

Answer 1

[Nyatmax]

a.

Xet 2 tam giac ADE va CBF ta co:

\(\widehat{A}=\widehat{C}\)(2 goc doi cua hinh binh hanh)

\(AE=CF\)

\(AD=BC\)(2 canh doi cua hinh binh hanh)

Do do:\(\Delta ADE=\Delta CBF\left(c-g-c\right)\)

Suy ra:\(DE=BF\)(2 canh tuong ung)

b.Xet 2 tam giac ADF va CBE ta co:

\(\widehat{D}=\widehat{B}\)(2 goc doi cua hinh binh hanh)

\(DF=BE\)

\(AD=CB\)(2 canh doi cua hinh binh hanh)

Do do:\(\Delta ADF=\Delta CBE\left(c-g-c\right)\)

Suy ra:\(AF=CE\)(2 canh tuong ung)

Tu giac AECF co:

\(AE=CF\)

\(AF=CE\)

Nen AECF la hinh binh hanh 

Suy ra:\(\widehat{BAF}=\widehat{DCE}\)(2 goc doi cua hinh binh hanh)

Theo chung minh o cau a ta co:\(\Delta ADE=\Delta CBF\)

Suy ra:\(\widehat{AED}=\widehat{CFB}\)(2 goc tuong ung)

Xet 2 tam giac EAM va FCN ta co:

\(AE=CF\)

\(\widehat{BAF}=\widehat{DCE}\)

\(\widehat{AED}=\widehat{CFB}\)

Do do:\(\Delta EAM=\Delta FCN\left(g-c-g\right)\)

Suy ra:\(EM=FN\left(1\right)\)(2 canh tuong ung)

Va \(\widehat{AME}=\widehat{CNF}\)(2 goc tuong ung)

Ma \(\widehat{DMF}=\widehat{AME}\left(2\right)\)

\(\widehat{BNE}=\widehat{CNF}\left(3\right)\)

Tu (2) va (3) suy ra:\(\widehat{DMF}=\widehat{BNE}\)

Tu giac EBFD co:

\(BE=DF\)

\(DE=BF\)(chung minh o cau a)

Nen EBFD la hinh binh hanh

Suy ra;\(\widehat{EDF}=\widehat{FBE}\)(2 goc doi cua hinh binh hanh)

Xet 2 tam giac DMF va BNE ta co:

\(\widehat{DMF}=\widehat{BNE}\)

\(\widehat{EDF}=\widehat{FBE}\)

\(DF=BE\)

Do do:\(\Delta DMF=\Delta BNE\left(c-g-c\right)\)

Suy ra;\(MF=NE\left(4\right)\)(2 canh tuong ung)

Tu (1) va (4) suy ra:EMFN la hinh binh hanh