Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Gọi O là giao điểm của AC và BD ⇒ O là trung điểm của AC và BD.
Xét ΔABC có BO là trung tuyến
Mà O là trung điểm của BD nên BD = 2. BO ⇒ BD2 = 4. BO2
⇒ BD2 = 2.(AB2 + BC2) – AC2
⇒ BD2 + AC2 = 2.(AB2 + BC2)
⇒ m2 + n2 = 2.(a2 + b2) (ĐPCM).
Áp dụng định lí về đường trung tuyến:
OA2 = -
(1)
Thay OA = , AB = a, AD = BC = b và BD = m vào (1) ta có:
\(\left(\dfrac{n}{2}\right)^2=\dfrac{b^2+a^2}{2}-\dfrac{m^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{n^2}{4}+\dfrac{m^2}{4}=\dfrac{a^2+b^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow m^2+n^2=2\left(a^2+b^2\right)\)
Gọi giao điểm của AC và BD là O
Ta có: \(OB^2=\dfrac{2\left(AB^2+BC^2\right)-AC^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow\) \(4OB^2+AC^2=2\left(AB^2+BC^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\) \(BD^2+AC^2=2\left(AB^2+BC^2\right)\) (Do \(4OB^2=\left(2OB\right)^2\) mà 2OB = BD)
\(\Leftrightarrow\) \(m^2+n^2=2\left(a^2+b^2\right)\) (đpcm)
Chúc bn học tốt!
ta có \(\hept{\begin{cases}\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\Rightarrow AC^2=AB^2+BC^2+2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}\\\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}\Rightarrow BD^2=BA^2+AD^2+2\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AD}\end{cases}}\)
mà \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=0\)
Do đó \(AC^2+BD^2=2AB^2+2BC^2\Leftrightarrow m^2+n^2=2\left(a^2+b^2\right)\)
Câu 1: giả sử:\(\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}\Leftrightarrow\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{BO}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\)(luôn đúng vì ABCD lad hình bình hành)
giả sử: \(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{BB}+\overrightarrow{DD}=\overrightarrow{0}\)(LUÔN ĐÚNG)
câu 2 :GIẢ SỬ:
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}\Leftrightarrow\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{0}\)(luôn đúng)
giả sử: \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}\\ \Leftrightarrow\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}\Leftrightarrow\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}\)
a) Giả sử \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\left(\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OA}\right)+\left(\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OC}\right)=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}\) (đúng do tứ giác ABCD là hình bình hành).
b) \(\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{FN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{FC}+\overrightarrow{CN}\)
\(=\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{CN}\right)+\left(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{FC}\right)\).
Do các tứ giác AMOE, MOFB, OFCN, EOND cũng là các hình bình hành.
Vì vậy \(\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{FO}=\overrightarrow{BM};\overrightarrow{FC}=\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{ED}\).
Do đó: \(\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{FN}=\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{CN}\right)+\left(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{FC}\right)\)
\(=\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BM}\right)+\left(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{ED}\right)\)
\(=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BD}\) (Đpcm).
Áp dụng định lí về đường trung tuyến:
OA2 =
– 
Thay OA =
, AB = a
AD = BC = b và BD = m => dpcm