Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1.
\(f'\left(x\right)=3x^2-6mx+3\left(2m-1\right)\)
\(f'\left(x\right)-6x=3x^2-3.2\left(m+1\right)x+3\left(2m-1\right)>0\)
\(\Leftrightarrow x^2-2\left(m+1\right)x+2m-1>0\)
\(\Leftrightarrow x^2-2x-1>2m\left(x-1\right)\)
Do \(x>2\Rightarrow x-1>0\) nên BPT tương đương:
\(\dfrac{x^2-2x-1}{x-1}>2m\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-1\right)^2-2}{x-1}>2m\)
Đặt \(t=x-1>1\Rightarrow\dfrac{t^2-2}{t}>2m\Leftrightarrow f\left(t\right)=t-\dfrac{2}{t}>2m\)
Xét hàm \(f\left(t\right)\) với \(t>1\) : \(f'\left(t\right)=1+\dfrac{2}{t^2}>0\) ; \(\forall t\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến
\(\Rightarrow f\left(t\right)>f\left(1\right)=-1\Rightarrow\) BPT đúng với mọi \(t>1\) khi \(2m< -1\Rightarrow m< -\dfrac{1}{2}\)
2.
Thay \(x=0\) vào giả thiết:
\(f^3\left(2\right)-2f^2\left(2\right)=0\Leftrightarrow f^2\left(2\right)\left[f\left(2\right)-2\right]=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}f\left(2\right)=0\\f\left(2\right)=2\end{matrix}\right.\)
Đạo hàm 2 vế giả thiết:
\(-3f^2\left(2-x\right).f'\left(2-x\right)-12f\left(2+3x\right).f'\left(2+3x\right)+2x.g\left(x\right)+x^2.g'\left(x\right)+36=0\) (1)
Thế \(x=0\) vào (1) ta được:
\(-3f^2\left(2\right).f'\left(2\right)-12f\left(2\right).f'\left(2\right)+36=0\)
\(\Leftrightarrow f^2\left(2\right).f'\left(2\right)+4f\left(2\right).f'\left(2\right)-12=0\) (2)
Với \(f\left(2\right)=0\) thế vào (2) \(\Rightarrow-12=0\) ko thỏa mãn (loại)
\(\Rightarrow f\left(2\right)=2\)
Thế vào (2):
\(4f'\left(2\right)+8f'\left(2\right)-12=0\Leftrightarrow f'\left(2\right)=1\)
\(\Rightarrow A=3.2+4.1\)
1: \(f'\left(x\right)=\dfrac{1}{3}\cdot3x^2+2x-\left(m+1\right)=x^2+2x-m-1\)
\(\Delta=2^2-4\left(-m-1\right)=4m+8\)
Để f'(x)>=0 với mọi x thì 4m+8<=0 và 1>0
=>m<=-2
=>\(m\in\left\{-10;-9;...;-2\right\}\)
=>Có 9 số
2: ĐKXĐ: x<>1
\(f'\left(x\right)=\dfrac{\left(x^2-3x+3\right)'\left(x-1\right)-\left(x^2-3x+3\right)\left(x-1\right)'}{\left(x-1\right)^2}\)
\(=\dfrac{\left(2x-3\right)\left(x-1\right)-\left(x^2-3x+3\right)}{\left(x-1\right)^2}\)
\(=\dfrac{2x^2-5x+3-x^2+3x-3}{\left(x-1\right)^2}=\dfrac{x^2-2x}{\left(x-1\right)^2}\)
f'(x)=0
=>x^2-2x=0
=>x(x-2)=0
=>\(\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=2\end{matrix}\right.\)
1:
\(f\left(x\right)=\dfrac{1}{3}x^3-2\sqrt{2}\cdot x^2+8x-1\)
=>\(f'\left(x\right)=\dfrac{1}{3}\cdot3x^2-2\sqrt{2}\cdot2x+8=x^2-4\sqrt{2}\cdot x+8=\left(x-2\sqrt{2}\right)^2\)
f'(x)=0
=>\(\left(x-2\sqrt{2}\right)^2=0\)
=>\(x-2\sqrt{2}=0\)
=>\(x=2\sqrt{2}\)
a) Với a = 0, tại x = 4, ta có:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \left( {{x^2} + x + 1} \right) = {4^2} + 4 + 1 = 21\\f\left( 4 \right) = 2.0 + 1 = 1\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} f\left( x \right) \ne f\left( 4 \right)\end{array}\)
Do đó hàm số không liên tục tại x = 4.
b) Ta có:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \left( {{x^2} + x + 1} \right) = {4^2} + 4 + 1 = 21\\f\left( 4 \right) = 2a + 1\end{array}\)
Để hàm số liên tục tại x = 4 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} f\left( x \right) = f\left( 4 \right)\)
\(\begin{array}{*{20}{l}}{ \Leftrightarrow \;21{\rm{ }} = {\rm{ }}2a{\rm{ }} + {\rm{ }}1}\\{ \Leftrightarrow \;2a{\rm{ }} = {\rm{ }}20}\\{ \Leftrightarrow \;a{\rm{ }} = {\rm{ }}10}\end{array}\)
Vậy với a = 10 thì hàm số liên tục tại x = 4.
c) TXĐ: \(\mathbb{R}\)
Với \(x\; \in \;\left( {-{\rm{ }}\infty ;{\rm{ }}4} \right)\) có \(f\left( x \right) = {x^2} + x + 1\) liên tục với mọi x thuộc khoảng này.
Với \(x\; \in \;\left( {4;{\rm{ }} + \infty } \right)\) có \(f\left( x \right) = 2a + 1\) liên tục với mọi x thuộc khoảng này.
Do đó hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) khi hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục tại điểm x = 4 khi a = 10.
Vậy với a = 10 hàm số liên tục trên tập xác định của nó.
\(f\left(x+3\right)=g\left(x\right)+x^2-10x+5\)
\(\Rightarrow f'\left(x+3\right)=g'\left(x\right)+2x-10\)
Thế \(x=1\) ta được:
\(f'\left(4\right)=g'\left(1\right)-8\)
\(\Rightarrow g'\left(1\right)=f'\left(4\right)+8=13\)
1a.
\(y'=3x^2.f'\left(x^3\right)-2x.g'\left(x^2\right)\)
b.
\(y'=\dfrac{3f^2\left(x\right).f'\left(x\right)+3g^2\left(x\right).g'\left(x\right)}{2\sqrt{f^3\left(x\right)+g^3\left(x\right)}}\)
2.
\(f'\left(x\right)=\left(m-1\right)x^3+\left(m-2\right)x^2-2mx+3=0\)
Để ý rằng tổng hệ số của vế trái bằng 1 nên pt luôn có nghiệm \(x=1\), sử dụng lược đồ Hooc-ne ta phân tích được:
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left[\left(m-1\right)x^2+\left(2m-3\right)x-3\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\\left(m-1\right)x^2+\left(2m-3\right)x-3=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
Xét (1), với \(m=1\Rightarrow x=-3\)
- Với \(m\ne1\Rightarrow\Delta=\left(2m-3\right)^2+12\left(m-1\right)=4m^2-3\)
Nếu \(\left|m\right|< \dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow\) (1) vô nghiệm \(\Rightarrow f'\left(x\right)=0\) có đúng 1 nghiệm
Nếu \(\left|m\right|>\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow\left(1\right)\) có 2 nghiệm \(\Rightarrow f'\left(x\right)=0\) có 3 nghiệm
1) \(y=\dfrac{2x^2+1}{x^2}\)
\(\Rightarrow y'=\dfrac{\left(4x+1\right)x^2-2x\left(2x^2+1\right)}{x^4}\)
\(\Leftrightarrow y'=\dfrac{4x^3+x^2-4x^3-2x}{x^4}\)
\(\Leftrightarrow y'=\dfrac{x^2-2x}{x^4}=\dfrac{x\left(x-2\right)}{x^4}=\dfrac{x-2}{x^3}\)
2) \(f\left(x\right)=\sqrt[]{-5x^2+14x-9}\)
\(\Rightarrow f'\left(x\right)=\dfrac{-10x+14}{2\sqrt[]{-5x^2+14x-9}}\)
\(\Leftrightarrow f'\left(x\right)=\dfrac{-2\left(5x-7\right)}{2\sqrt[]{-5x^2+14x-9}}\)
\(\Leftrightarrow f'\left(x\right)=\dfrac{-\left(5x-7\right)}{\sqrt[]{-5x^2+14x-9}}\)
Để \(f'\left(x\right)=0\)
\(f'\left(x\right)=\dfrac{-\left(5x-7\right)}{\sqrt[]{-5x^2+14x-9}}=0\)
\(\Leftrightarrow5x-7=0\)
\(\Leftrightarrow5x=7\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{7}{5}\)
Vậy tập hợp giá trị để \(f'\left(x\right)=0\) là \(\left\{\dfrac{7}{5}\right\}\)
Chọn C.
Vì: f’(x) = 15(x + 1)2 + 4 ;
f”(x) = 30(x + 1) ⇔ f”(x) = 0 ⇔ x = -1.
Đáp án C
Ta có : f ' ( x ) = 15 ( x + 1 ) 2 + 4 ;
f ' ' ( x ) = 30 ( x + 1 ) ⇒ f ' ' ( x ) = 0 ⇔ 30 ( x + 1 ) = 0 ⇔ x = - 1 .
Chọn A
f'(x) = -x2 - x + m. Do đó f'(x) ≤ 0, ∀ x ∈ R ⇔ -x2 - x + m ≤ 0, ∀ x ∈ R