Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(a^2+b^2+1=2\left(ab+a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+1-2ab+2a-2b=4a\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b+1\right)^2=4a\)(*)
Do a,b nguyên nên \(\left(a-b+1\right)^2\)là số chính phương. Suy ra a là số chính phương a=x2 (x nguyên)
Khi đó (*) trở thành : \(\left(x^2-b+1\right)^2=4x^2\Rightarrow x^2-b+1=\pm2x\Leftrightarrow b=\left(x\mp1\right)^2\)
Vậy a và b là hai số chính phương liên tiếp.
\(a)M=75.\left(4^{2017}+4^{2016}+...+4^2+4+1\right)+25\)
\(\Rightarrow M=\left(25.3\right).\left(4^{2017}+4^{2016}+...+4^2+4+1\right)+25\)
\(\Rightarrow M=25.\left(4-1\right).\left(4^{2017}+4^{2016}+...+4^2+4+1\right)\)
\(\Rightarrow M=25.\left[4\left(4^{2017}+4^{2016}+...+4^2+4+1\right)-\left(4^{2017}+4^{2016}+...+4^4+4+1\right)\right]+25\)
\(\Rightarrow M=25.\left[\left(4^{2018}+4^{2017}+...+4^2+4+1\right)-\left(4^{2017}+4^{2016}+...+4^2+4+1\right)\right]+25\)
\(\Rightarrow M=25.\left(4^{2018}-1\right)+25\)
\(\Rightarrow M=25.4^{2018}-25+25\)
\(\Rightarrow M=25.4^{2018}=\left(25.4\right).4^{2017}=100.4^{2017}=10^2.4^{2017}⋮10^2\)
\(\text{Vậy }M⋮10^2\left(đpcm\right)\)
\(b)\text{ Đặt }ab=c^2\text{ và }\left(a,\text{ }c\right)=d\left(d\in N^{\circledast}\right)\)
\(-\text{Ta có: }\left\{{}\begin{matrix}a⋮d\\c⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=md\\c=nd\end{matrix}\right.\text{ với }\left(m;n\right)=1\)
\(-\text{Thay vào }ab=c^2\text{, ta được }mdb=\left(nd\right)^2=n^2.d^2\)
\(\Rightarrow mb=n^2.d\)
\(\Rightarrow b⋮n^2,\text{ vì }\left(a;b\right)=1=\left(b;d\right)\)
\(-\text{Mà: }n^2⋮b\text{ nên suy ra }n^2=b\)
\(-\text{Thay vào }ab=c^2,\text{ ta được }a=d^2\)
\(\RightarrowĐpcm\)
Vì số chính phương chia 3 dư 1 hoặc 0
Do đó các cặp số dư khi chia lần lượt a2 và b2 cho 3 là
(0;0) (0;1) (1;0) (1;1)
Vì a2+b2chia hết 3 nên ta nhận cặp (0;0) => a,b đều chia hết 3