Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(S=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{25}{ab}+ab\)
\(=\left(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\right)+\left(ab+\frac{16}{ab}\right)+\frac{17}{2ab}\)
\(\ge\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+2\sqrt{ab\cdot\frac{16}{ab}}+\frac{17}{\frac{\left(a+b\right)^2}{2}}\)
\(\ge\frac{4}{4^2}+8+\frac{17}{\frac{4^2}{2}}=\frac{83}{8}\)
Dấu "=" xảy râ khi x = y = 2
Ta có \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)=> \(ab\le4\)
\(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\ge\frac{4}{\left(a+b\right)^2}\ge\frac{1}{4}\)
\(\frac{16}{ab}+ab\ge8\)
\(\frac{17}{2ab}\ge\frac{17}{8}\)
=> \(S\ge8+\frac{17}{8}+\frac{1}{4}=\frac{83}{8}\)
Vậy MinS=83/8 khi a=b=2
\(A=\left(\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}\right)+\left(ab+\dfrac{16}{ab}\right)+\dfrac{17}{2ab}\)
\(A\ge\dfrac{4}{a^2+b^2+2ab}+2\sqrt{\dfrac{16ab}{ab}}+\dfrac{17}{\dfrac{2\left(a+b\right)^2}{4}}\)
\(A\ge\dfrac{4}{\left(a+b\right)^2}+8+\dfrac{34}{\left(a+b\right)^2}\ge\dfrac{4}{4^2}+8+\dfrac{34}{4^2}=\dfrac{83}{8}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=2\)
2) \(S=a+\frac{1}{a}=\frac{15a}{16}+\left(\frac{a}{16}+\frac{1}{a}\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(S\ge\frac{15a}{16}+2.\sqrt{\frac{a}{16}.\frac{1}{a}}=\frac{15.4}{16}+2.\sqrt{\frac{1}{16}}=\frac{15}{4}+2.\frac{1}{4}=\frac{15}{4}+\frac{1}{2}=\frac{15}{4}+\frac{2}{4}=\frac{17}{4}\)
\(S=\frac{17}{4}\Leftrightarrow a=4\)
Vậy \(S_{min}=\frac{17}{4}\Leftrightarrow a=4\)
kudo shinichi sao cách làm giống của thầy Hồng Trí Quang vậy bạn?
\(S=a+\frac{1}{a}=\frac{15}{16}a+\left(\frac{a}{16}+\frac{1}{a}\right)\ge\frac{15}{16}a+2\sqrt{\frac{1.a}{16.a}}=\frac{15}{16}a+2.\frac{1}{4}\)
\(=\frac{15}{16}.4+\frac{1}{2}=\frac{17}{4}\Leftrightarrow a=4\)
Dấu "=" xảy ra khi a = 4
Vậy \(S_{min}=\frac{17}{4}\Leftrightarrow a=4\)
Bài toán số 41 có 2 cách làm, tôi làm cách thứ 2
Đặt \(Q=\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}\)\(\Rightarrow Q^2=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}+2\left(\sqrt{\frac{xy}{\left(y+z\right)\left(x+z\right)}}+\sqrt{\frac{yz}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}+\sqrt{\frac{xz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}\right)\)ta thấy rằng \(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}=\frac{1}{4}\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\right)\left(xy+yz+zx\right)\)
\(=\frac{x^2+y^2+z^2}{4}+\frac{xyz}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)\ge\frac{x^2+y^2+z^2}{4}\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có \(\sqrt{\frac{yx}{\left(z+x\right)\left(x+y\right)}}\ge\frac{2yx}{2\sqrt{\left(xy+yz\right)\left(yz+yx\right)}}\ge\frac{2xy}{2xy+yz+xz}\ge\frac{2xy}{2\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{xy}{xy+yz+zx}\)
Tương tự ta có \(\hept{\begin{cases}\sqrt{\frac{yz}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\ge\frac{yz}{xy+yz+zx}\\\sqrt{\frac{xz}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}\ge\frac{xz}{xy+yz+zx}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{xy}{\left(y+z\right)\left(z+x\right)}}+\sqrt{\frac{yz}{\left(z+x\right)\left(x+y\right)}}+\sqrt{\frac{zx}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}\ge1\)nên \(Q\ge\sqrt{\frac{x^2+y^2+z^2}{4}+2}\)
\(\Rightarrow Q\ge\sqrt{\frac{x^2+y^2+z^2}{2}+4}+\frac{4}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\)
Đặt \(t=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\Rightarrow t\ge\sqrt{xy+yz+zx}=2\)
Xét hàm số g(t)=\(\sqrt{\frac{t^2}{2}+4}+\frac{4}{t}\left(t\ge2\right)\)khi đó ta có
\(g'\left(t\right)=\frac{t}{2\sqrt{\frac{t^2}{2}+4}}-\frac{4}{t^2};g'\left(t\right)=0\Leftrightarrow t^6-32t^2-256=0\Leftrightarrow t=2\sqrt{2}\)
Lập bảng biến thiên ta có min[2;\(+\infty\)) \(g\left(t\right)=g\left(2\sqrt{2}\right)=3\sqrt{2}\)
Hay minS=\(3\sqrt{2}\)<=> a=c=1; b=2
Đặt a=xc; b=cy (x;y >=1)
- Thay x=1 vào giả thiết ta có \(\sqrt{b-c}=\sqrt{b}\Rightarrow c=0\) (không thỏa mãn vì c>0)
- Thay y=1 vào giả thiết ta có \(\sqrt{a-c}=\sqrt{a}\Rightarrow c=0\)( không thỏa mãn vì c>0)
- Xét x,y>1 thay vào giả thiết ta có
\(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}=\sqrt{xy}\Leftrightarrow x+y-2+2\sqrt{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}=xy\)
\(\Leftrightarrow xy-x-y+1-2\sqrt{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}-1\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}=1\Leftrightarrow xy=x+y\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\ge4\)
Biểu thức P được viết lại như sau
\(P=\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x^2+y^2}=\frac{x^2}{xy+x}+\frac{y^2}{xy+y}+\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{\left(x+y\right)^2-2xy}\)
\(P\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2xy+x+y}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{\left(x+y\right)^2-2xy}=\frac{xy}{3}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{x^2y^2-2xy}=\frac{x^3y^3-2x^2y^2+3xy-3}{3\left(x^2y^2-2xy\right)}\)
Đặt t=xy với t>=4
Xét hàm số \(f\left(t\right)=\frac{t^3-2t^2+3t-3}{t^2-2t}\left(t\ge4\right)\)
Ta có \(f'\left(t\right)=\frac{t^4-4t^3+t^2+6t-6}{\left(t^2-2t\right)^2}=\frac{t^3\left(t-4\right)+6\left(t-4\right)+18}{\left(t^2-2t\right)^2}>0\forall t\ge4\)
Lập bảng biến thiên ta có \(minf\left(t\right)=f\left(4\right)=\frac{41}{8}\)
Vậy \(minP=\frac{41}{24}\)khi x=y=z=2 hay a=b=2c
Cách làm dài bạn thông cảm mình nghĩ được có zậy thui ak :/
Ta có a, b là các số thực dương
Từ \(a+3b=ab\Leftrightarrow\frac{1}{b}+\frac{3}{a}=1\ge2\sqrt{\frac{3}{ab}}.\)(bất đẳng thức Cauchy cho 2 số không âm)
\(\Leftrightarrow\frac{12}{ab}\le1\Leftrightarrow ab\ge12\)\(\Leftrightarrow84ab-72ab\ge144\Leftrightarrow84ab\ge72\left(ab+2\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{12ab}{ab+2}\ge\frac{72}{7}\left(1\right)\)
Ta có \(P=\frac{a^2}{1+3b}+\frac{9b^2}{1+a}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{1+3b}\frac{9b^2}{1+a}}=\frac{6ab}{\sqrt{\left(1+a\right)\left(1+3b\right)}}\)(Bất đẳng thức Cauchy)
\(\ge\frac{6ab}{\frac{1+a+1+3b}{2}}=\frac{12ab}{a+3b+2}=\frac{12ab}{ab+2}\)(Bất đẳng thức Cauchy ngược dấu )
Kết hợp với (1) ta được :
\(P\ge\frac{12ab}{ab+2}\ge\frac{72}{7}.\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P=\frac{72}{7}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=3b\\a+3b=ab\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=6\\b=2\end{cases}.}}\)
Ta có: \(\frac{1+3a}{1+b^2}=\left(1+3a\right).\frac{1}{1+b^2}=\left(1+3a\right)\left(1-\frac{b^2}{1+b^2}\right)\)
\(\ge\left(1+3a\right)\left(1-\frac{b^2}{2b}\right)=\left(1+3a\right)\left(1-\frac{b}{2}\right)\)
\(=3a+1-\frac{b}{2}-\frac{3ab}{2}\)(1)
Tương tự ta có: \(\frac{1+3b}{1+c^2}=3b+1-\frac{c}{2}-\frac{3bc}{2}\)(2); \(\frac{1+3c}{1+a^2}=3c+1-\frac{a}{2}-\frac{3ca}{2}\)(3)
Cộng theo vế của 3 BĐT (1), (2), (3), ta được: \(\frac{1+3a}{1+b^2}+\frac{1+3b}{1+c^2}+\frac{1+3c}{1+a^2}\)\(\ge3\left(a+b+c\right)-\frac{a+b+c}{2}-\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2}+3\)
\(=\frac{5\left(a+b+c\right)}{2}-\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2}+3\)
\(\ge\frac{5.\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}}{2}-\frac{3.3}{2}+3=\frac{15}{2}-\frac{9}{2}+3=6\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
p \(\ge\)\(\frac{4}{a^2+b^2+2\left(a+b\right)}\) +\(\sqrt{\left(1+ab\right)^2}\) (bunhia và cosi)
=\(\frac{4}{a^2+b^2+2ab}+1+ab=\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+a+b+1\)
do \(a+b=ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\Rightarrow a+b\ge4\)
dạt a+b = t thì t>=4
cần tìm min \(\frac{4}{t^2}+t+1=\frac{4}{t^2}+\frac{t}{16}+\frac{t}{16}+\frac{7t}{8}+1\)
\(\ge3.\sqrt[3]{\frac{4}{t^2}.\frac{t}{16}.\frac{t}{16}}+\frac{7.4}{8}+1=\frac{21}{4}\)
dau = xay ra khi a=b=2
Có 2 cáchm cách 1 dài nên làm cách 2 cho ngắn
Áp dụng BĐT AM-GM ta có
\(\left(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ac}{c}\right)^2\ge3\left(\frac{bc}{a}\cdot\frac{ca}{b}+\frac{bc}{a}\cdot\frac{ab}{c}+\frac{ca}{b}\cdot\frac{ab}{c}\right)=3\left(a^2+b^2+c^2\right)=3\)
\(\Rightarrow P\ge\sqrt{3}\). Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có :
\(4\ge a+b\ge2\sqrt{ab}\Leftrightarrow\sqrt{ab}\le2\Leftrightarrow ab\le4\)
Ta có bất đẳng thức \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)
(Nhân chéo để chứng minh )
Áp dụng :
\(S=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{25}{ab}+ab=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+\frac{49}{2ab}+ab\)
\(=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}+ab+\frac{16}{ab}+\frac{17}{2ab}\)
\(\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}+2\sqrt{ab.\frac{16}{ab}}+\frac{17}{2ab}\)
\(\ge\frac{4}{\left(a+b\right)^2}+8+\frac{17}{2.4}=\frac{1}{4}+8+\frac{17}{8}=\frac{83}{8}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=2\)