K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
20 tháng 3 2016
Một trong các nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right)=\cos x+\sin x\) là hàm số \(\sin x-\cos x\) . Từ định lí nếu hàm số f(x) có nguyên hàm F(x) trên khoảng (a,b) thì trên khoảng đó nó có vô số nguyên hàm và hai nguyên hàm bất kì của cùng một hàm cho trên khoảng (a,b) là sai khác nhau một hằng số cộng. suy ra mọi nguyên hàm số đã cho đều có dạng \(F\left(x\right)=\sin x-\cos x+C\), trong đó C là hằng số nào đó.
Để xác định hằng số C ta sử dụng điều kiện F(0)=1
Từ điều kiện này và biểu thức F(x) ta có :
\(\sin0-\cos0+C=1\Rightarrow C=1+\cos0=2\)
Do đó hàm số \(F\left(x\right)=\sin x-\cos x+2\) là nguyên hàm cần tìm
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
11 tháng 3 2022
\(F\left(x\right)=\int\left(e^x.ln\left(ax\right)+\dfrac{e^x}{x}\right)dx=\int e^xln\left(ax\right)dx+\int\dfrac{e^x}{x}dx=\int e^xlnxdx+\int\dfrac{e^x}{x}dx+\int e^x.lna.dx\)
Xét \(I=\int e^xlnxdx\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=lnx\\dv=e^xdx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\dfrac{dx}{x}\\v=e^x\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=lnx.e^x-\int\dfrac{e^x}{x}dx\)
\(\Rightarrow F\left(x\right)=e^x.lnx+e^x.lna+C\)
\(F\left(\dfrac{1}{a}\right)=e^{\dfrac{1}{a}}ln\left(\dfrac{1}{a}\right)+e^{\dfrac{1}{a}}.lna+C=0\Rightarrow C=0\)
\(F\left(2020\right)=e^{2020}ln\left(2020\right)+e^{2020}.lna=e^{2020}\)
\(\Rightarrow ln\left(2020a\right)=1\Rightarrow a=\dfrac{e}{2020}\)
CM
14 tháng 6 2019
Chọn B
Ta có:
Mặt khác f(0) = 10 => 5 + C = 10 <=> C = 5.
Vậy f(x) = 3x + 5cos x + 5.
\(u=e^x\Rightarrow du=e^xdx\Rightarrow dx=\dfrac{du}{e^x}\)
\(\Rightarrow\int f\left(x\right)dx=\int\dfrac{du}{2u^2+3u}\)
\(\dfrac{1}{2u^2+3u}=\dfrac{A}{u}-\dfrac{B}{2u+3}=\dfrac{A\left(2u+3\right)-Bu}{2u^2+3u}=\dfrac{\left(2A-B\right)u+3A}{2u^2+3u}\)
\(\Rightarrow\left(2A-B\right)u+3A=1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2A-B=0\\3A=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}A=\dfrac{1}{3}\\B=\dfrac{2}{3}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\int\dfrac{du}{2u^2+3u}=\dfrac{1}{3}\int\left(\dfrac{1}{u}-\dfrac{2}{2u+3}\right)du=\dfrac{1}{3}\left[lnu-ln\left(2u+3\right)\right]+C\)
\(\Rightarrow F\left(x\right)=\dfrac{1}{3}\left[ln\left(e^x\right)-ln\left(2e^x+3\right)\right]+C=\dfrac{1}{3}\left[x-ln\left(2e^x+3\right)\right]+C\)
\(F\left(0\right)=10\Rightarrow\dfrac{1}{3}\left[x-ln\left(2e^x+3\right)\right]+C=10\Rightarrow C=\dfrac{ln5}{3}+10\)
\(\Rightarrow F\left(x\right)=\dfrac{1}{3}\left[x-ln\left(2e^x+3\right)\right]+\dfrac{ln5}{3}+10\)